Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 415 стр.

§ 45                     Факториальные кольца                                 415

свойством, что его нельзя разложить в произведение неразложимых
элементов.
   В частности, сам элемент a0 не является неразложимым. Значит,
он разлагается в произведение двух своих нетривиальных делите-
лей, скажем, a0 = a1 · b1 .
   Если бы оба этих делителя допускали разложение на неразложи-
мые, то такое разложение допускал бы и исходный элемент a0 , что
противоречит предположению. Поэтому хотя бы один из элементов
a1 или b1 , так же как и a0 , обладает "плохим" свойством. Будем для
определенности считать, что таким элементом является a1 .
   Сделан первый шаг в построении последовательности {ak }: эле-
мент a1 является нетривиальным делителем элемента a0 и, что самое
главное, обладает тем же свойством, что и a0 : не разлагается в про-
изведение неразложимых элементов.
   Рассуждение можно повторить и найти нетривиальный делитель
a2 элемента a1 , снова обладающий "плохим" свойством; и т. д. Мы
приходим, таким образом, к бесконечной последовательности эле-
ментов кольца, удовлетворяющей (45.9), что противоречит условию
(Н). Значит, наше допущение не верно и в кольце выполняется (Ф.1).
   2. Докажем теперь импликацию (Б) ⇒ (Ф.2). Пусть (ненулевой и
необратимый) элемент a ∈ K имеет два разложения, (45.1) и (45.2),
на неразложимые множители.
   Пусть для определенности количество k сомножителей в первом
разложении не превышает количества l сомножителей во втором раз-
ложении. Рассмотрим равенство

              p1 · p2 · ... · pk = q1 · q2 · ... · qk · qk+1 · ... · ql .   (45.10)

   Элементы pi (i = 1, ..., k) и qj (j = 1, ..., l) являются неразложи-
мыми и, следовательно (в силу условия (Б); см. второе утверждение
предложения 44.2), простыми.
   Элемент p1 делит правую часть равенства (45.10), и следовательно
(по определению 44.2; см. также замечание 44.2), p1 делит некоторый
из сомножителей qj правой части.
   Оба этих элемента неразложимы, поэтому, в силу второй части
предложения 44.1, они ассоциированы.
   Наличие коммутативного закона для умножения позволяет как
угодно переставлять (перенумеровывать) сомножители. Сделаем об-
наруженный выше сомножитель qj первым и будем далее считать,
что p1 ∼ q1 , т. е. q1 = p1 u1 , где u1 ∈ K ∗ .