Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 412 стр.

412                    Алгебра многочленов                        Гл. 6

  (3) В факториальном кольце неразложимость элемента влечет его
простоту.
   Доказательство. 1. Если неравенство для кратностей, фигури-
рующее в (45.7), выполнено, то, очевидно, a|b, причем частное b/a
будет иметь каноническое разложение с обратимым множителем u/v
и кратностями li − mi .
   Обратно, если a|b, то найдется элемент c ∈ K, такой, что b = ac; он
также может быть представлен своим каноническим разложением.
   Мы заранее не знаем, какие к.н. элементы будут присутствовать в
разложении для c. Предположим, что разложение для c начинается
обратимым множителем w, что элементы списка (45.3) входят в это
разложение с кратностями ri (i = 1, ..., s), возможно нулевыми, и что
помимо этих элементов в разложении присутствуют другие к.н. эле-
менты pi (с кратностями ri ), где i = s+1, ..., s+t. При перемножении
элементов a и c обратимые множители перемножатся, а кратности
к.н. элементов сложатся.
   Равенство b = ac приведет, в силу единственности канонического
разложения (см. предложение 45.1), к системе равенств
                
                 v = uw;
                   l i = mi + ri      (i = 1, ..., s);
                
                       0 = ri     (i = s + 1, ..., s + t),
из которой, вследствие неотрицательности целых чисел ri , получа-
ются неравенства mi 6 li (i = 1, ..., s), кроме того, становится ясным,
что элемент c не может иметь в своем разложении "новых" к.н. эле-
ментов.
   2. Рассмотрим два элемента a, b и элемент d, определяемый пер-
вой из формул (45.8). Из (45.7) немедленно следует, что d является
общим делителем для a и b.
   Рассмотрим еще один элемент, d◦ , являющийся общим делите-
лем для a и b. Очевидно, его каноническое разложение не может
содержать "новых" к.н. элементов, не входящих в формулы (45.5) и
(45.6), ибо это противоречило бы первому утверждению настоящего
предложения.
   Согласно тому же утверждению, кратности m◦i множителей pi в
разложении элемента d◦ должны удовлетворять двум неравенствам:
m◦i 6 mi и m◦i 6 li , а значит, и неравенству m◦i 6 min(mi , li ) = ki ,
откуда уже будет следовать делимость d◦ |d. Тем самым доказано,
что d ∈ НОД(a, b). Утверждение, относящееся к НОК, остается в
качестве упражнения.