Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 406 стр.

406                   Алгебра многочленов                      Гл. 6

изведение двух многочленов положительной степени (степень этих
многочленов автоматически должна быть меньшей n).
   Равносильность неразложимости и неприводимости доказана.
   Остается заметить, что, согласно теореме 38.1, кольцо P [x] удо-
влетворяет условию (Б), и следовательно, по предложению 44.2, в
этом кольце неразложимость элемента равносильна его простоте. ¤
  Замечание 44.4. Многочлен, ассоциированный (пропорциональ-
ный) неприводимому, сам является таковым. В качестве канони-
ческого представителя (см. п. 44.3) от класса пропорциональных
неприводимых многочленов принято выбирать нормализованный не-
приводимый многочлен.
   Замечание 44.5. Основным предметом изучения в данной главе
являются многочлены над полем. Однако многие факты, доказан-
ные для таких многочленов, сохраняют силу для многочленов над
целостным кольцом.
   К тому же в некоторых вопросах, касающихся многочленов над
полями, без рассмотрения многочленов над кольцами не обойтись.
(Например, при индуктивном определении многочленов от несколь-
ких переменных или — см. § 46 — при рассмотрении многочленов
над полем рациональных чисел.)
   В связи с этим на протяжении всей главы мы тянули "тонкую нить
замечаний", посвященных изучению кольца K = L[x] многочленов
над целостным кольцом L (см. замечания 36.8, 36.9, 36.12, 37.2, 39.3,
39.7, 40.3).
   Продолжением этой нити служит и настоящее замечание.
   Определение 44.3 неприводимых многочленов без всяких измене-
ний переносится на случай многочленов над целостным кольцом L.
Однако описание неразложимых элементов в кольце L[x] несколько
усложняется. Это обусловлено наличием необратимых многочленов
нулевой степени (констант).
   Рассмотрим, скажем, над кольцом L = Z многочлен
                           f (x) = 2x2 + 2.
   Он не представляется в виде произведения многочленов меньшей
степени (над Z, над Q и даже над R), следовательно, он является
неприводимым (над кольцом Z и над указанными полями).
   Однако он не является неразложимым элементом кольца Z[x], по-
скольку может быть представлен в виде произведения двух необра-
тимых элементов:
                        f (x) = 2 · (x2 + 1).