Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 404 стр.

404                   Алгебра многочленов                       Гл. 6

  Предложение 44.2. Пусть K — целостное кольцо; a ∈ K. Тогда
  1) если a прост, то a неразложим;
  2) при дополнительном условии (Б) (см. п. 38.1) верно обратное
утверждение: неразложимость влечет простоту (и таким образом,
эти свойства равносильны).
   Доказательство. 1. Пусть элемент a прост и пусть a = bc. Тогда,
поскольку a|a, имеет место делимость a|bc. По определению простого
элемента, из этого следует, что a|b или a|c.
   С другой стороны, как b, так и c делят a. По свойству 3 отношения
делимости (см. предложение 37.1), получается, что a ∼ b или a ∼ c,
и следовательно (см. замечание 44.1), элемент a неразложим.
   2. При дополнительном условии (Б) докажем обратное утвержде-
ние. Пусть элемент a неразложим. Докажем, что он прост. Пред-
положим a|bc. В силу (Б), существует наибольший общий делитель
d ∈ НОД(a, b), допускающий (для некоторых u, v ∈ K) линейное
представление d = au + bv. Поскольку d|a и a неразложим, то либо
d ∈ K ∗ , либо d ∼ a.
   Рассмотрим первый случай. Обратимость элемента эквивалентна
его ассоциированности единичному элементу. Значит, во-первых, 1 ∈
НОД(a, b), и во-вторых, из линейного представления d = au + bv сле-
дует линейное представление для единичного элемента 1 = au0 + bv 0
(где u0 = ud−1 , v 0 = vd−1 ), из которого, по предложению 38.3, кста-
ти тоже опирающемуся на условие (Б), следует взаимная простота
элементов a и b. По предложению 38.5, также использующему (Б),
делимость a|bc, при условии взаимной простоты a и b, влечет дели-
мость a|c.
   Переходим ко второму случаю. Если d ∼ a, то, в частности, a|d;
с учетом делимости d|b получаем делимость a|b.
   Простота элемента a доказана. ¤
   Замечание 44.3. Как показано в § 38, в кольце целых чисел Z и
в кольце P [x] многочленов над полем P (и вообще в любом евкли-
довом кольце) условие (Б) выполнено. Значит, в силу только что
доказанного утверждения, в этих кольцах неразложимость элемен-
та равносильна его простоте.
   Неразложимые (= простые) элементы в кольце Z вам хорошо зна-
комы с детства; это — числа: ±2, ±3, ±5, ... Число p ∈ Z являет-
ся простым элементом в Z, если оно делится лишь на обратимые
элементы ±1 и на ассоциированные себе числа ±p. Неразложимым
(= простым) элементам в кольце многочленов мы посвятим п. 44.4.