Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 399 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 43 Многочлены над R 399
Тогда имеет место разложение многочлена f(x) на линейные и
квадратичные (с отрицательным дискриминантом) множители (над
полем R):
f(x) = a
0
· (x − c
1
)
m
1
· ... · (x − c
s
)
m
s
·
· (x
2
+ p
1
x + q
1
)
l
1
· ... · (x
2
+ p
t
x + q
t
)
l
t
, (43.13)
в котором
— каждому действительному корню c
j
(j = 1, ..., s) отвечает ли-
нейный множитель x −c
j
, входящий в разложение в степени, равной
кратности m
j
этого корня;
— каждой паре сопряженных корней w
k
, w
k
(k = 1, ..., t) отве-
чает квадратичный множитель x
2
+ p
k
x + q
k
, где p
k
= 2Re(w
k
) и
q
k
= α
2
k
+ β
2
k
= |w
k
|
2
; этот множитель имеет отрицательный дис-
криминант, не разлагается над полем R на линейные множители и
входит в разложение для f(x) в степени, равной общей кратности l
k
корней w
k
и w
k
.
Доказательство изложено выше, перед формулировкой предло-
жения. ¤
43.4. Примеры разложения многочленов над полем дей-
ствительных чисел. Общий метод разложения на множители для
многочлена с действительными коэффициентами состоит в том, что-
бы разложить этот многочлен (над полем комплексных чисел) на
линейные множители, затем сгруппировать множители, отвечающие
комплексно сопряженным корням, так, что получатся уже квадра-
тичные (но зато действительные) множители.
В некоторых примерах, однако, возможно применение (искусст-
венных) "чисто действительных приемов", приводящих к разложе-
нию над полем R, без использования разложения над C.
Пример 43.1. Разложим на линейные множители над полем C
и на линейные и квадратичные множители над полем R многочлен
f(x) = x
4
+ 4.
Чтобы найти комплексные корни этого многочлена, необходимо
извлечь в поле C корень четвертой степени из числа −2. Сделать
это можно с помощью перехода к тригонометрической форме записи
комплексных чисел [см. (более сложный) образец в примере 32.6;
пусть вас только не смущает тот факт, что комплексная неизвестная
обозначается здесь не z, а x].
§ 43                         Многочлены над R                                    399

  Тогда имеет место разложение многочлена f (x) на линейные и
квадратичные (с отрицательным дискриминантом) множители (над
полем R):

  f (x) = a0 · (x − c1 )m1 · ... · (x − cs )ms ·
                         · (x2 + p1 x + q1 )l1 · ... · (x2 + pt x + qt )lt ,   (43.13)

в котором
   — каждому действительному корню cj (j = 1, ..., s) отвечает ли-
нейный множитель x − cj , входящий в разложение в степени, равной
кратности mj этого корня;
   — каждой паре сопряженных корней wk , wk (k = 1, ..., t) отве-
чает квадратичный множитель x2 + pk x + qk , где pk = 2Re(wk ) и
qk = αk2 + βk2 = |wk |2 ; этот множитель имеет отрицательный дис-
криминант, не разлагается над полем R на линейные множители и
входит в разложение для f (x) в степени, равной общей кратности lk
корней wk и wk .
  Доказательство изложено выше, перед формулировкой предло-
жения. ¤
  43.4. Примеры разложения многочленов над полем дей-
ствительных чисел. Общий метод разложения на множители для
многочлена с действительными коэффициентами состоит в том, что-
бы разложить этот многочлен (над полем комплексных чисел) на
линейные множители, затем сгруппировать множители, отвечающие
комплексно сопряженным корням, так, что получатся уже квадра-
тичные (но зато действительные) множители.
  В некоторых примерах, однако, возможно применение (искусст-
венных) "чисто действительных приемов", приводящих к разложе-
нию над полем R, без использования разложения над C.
   Пример 43.1. Разложим на линейные множители над полем C
и на линейные и квадратичные множители над полем R многочлен
f (x) = x4 + 4.
   Чтобы найти комплексные корни этого многочлена, необходимо
извлечь в поле C корень четвертой степени из числа −2. Сделать
это можно с помощью перехода к тригонометрической форме записи
комплексных чисел [см. (более сложный) образец в примере 32.6;
пусть вас только не смущает тот факт, что комплексная неизвестная
обозначается здесь не z, а x].

Страницы