Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 396 стр.

396                  Алгебра многочленов                     Гл. 6

  Посмотрим на равенство (43.3) как на равенство полиномиальных
функций (справедливое для произвольных значений x ∈ C) и при-
меним к обеим его частям операцию сопряжения, снова пользуясь
предложением 31.1:
                      f (x) = (x − c)k g(x).
  Применим теперь (дважды) формулу (43.2):

                       f (x) = (x − c)k g(x).

  Произведя в последней формуле замену переменной y = x (пе-
ременная y, так же как x, пробегает все C), мы получим равенство
полиномиальных функций

                  (∀y ∈ C)[ f (y) = (y − c)k g(y) ].

   Бесконечность поля C гарантирует (в силу предложения 39.2) рав-
носильность равенства многочленов и равенства соответствующих
полиномиальных функций. Поэтому справедливо следующее равен-
ство многочленов (мы снова возвращаемся к переменной x):

                       f (x) = (x − c)k g(x).                (43.4)

  Кроме того, имеет место неравенство
                              (43.2)
                        g(c) === g(c) 6= 0,

приводящее нас к выводу, что число c является корнем многочлена
g(x) кратности, в точности равной k. ¤
   43.2. Комплексные корни для многочленов с действи-
тельными коэффициентами. Рассмотрим многочлен f (x) вида
(36.18), положительной степени n, с коэффициентами из поля дей-
ствительных чисел R.
   Многочлен f (x) можно рассматривать и над более широким полем
C (являющимся алгебраическим замыканием поля R; см. замечание
40.4). В поле C этот многочлен имеет ровно n корней (с учетом крат-
ностей) и разлагается на линейные множители по формуле (40.10).
   Среди комплексных корней многочлена f (x) могут присутство-
вать действительные; занесем их в список

                            c1 , c2 , ..., cs ,              (43.5)