Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 394 стр.

394                  Алгебра многочленов                    Гл. 6

g(−1) = −9. (Например, число 4/3 проходит первый тест, т. к. 4−3 =
1 делит 25, но не проходит второй, т. к. 4 + 3 = 7 не делит −9.)
   Оба теста выдерживают дроби из множества
                          ½                   ¾
                                 1    2    1
                     C 0 = 2; −4; ; − ; − ;
                                 2 3 4
(здесь мы уже используем обычную запись целых чисел).
   Каждое число из множества C 0 мы проверяем по Горнеру. Неко-
торые строки в таблице "срабатывают": они заканчиваются нулями,
что свидетельствует о том, что проверяемое число является корнем
(кратность корня равняется количеству "заработанных" этим кор-
нем нулей). Такие строки мы выделяем (тонируем). Остальные,
"не сработавшие" строки мы (мысленно) удаляем: считаем их при
переходе к следующей строке не существующими.
   Например, в табл. 42.1б после двух неудачных попыток "сработа-
ла" строка, соответствующая числу 1/2. "Сработала" и следующая
строка; это свидетельствует о том, что 1/2 является корнем g(x)
кратности не ниже 2. Следующая попытка оказалась неудачной.
Значит, кратность корня 1/2 в точности равна 2.
   Дальнейшему исследованию подлежит последнее из полных част-
ных, полученное как результат деления g(x) на (x − 1/2)2 и фигу-
рирующее (в виде вектора коэффициентов) в пятой (тонированной)
строке.
   Игнорируя неудачную шестую строку, мы подвергаем испытанию
дробь −2/3, которая оказывается корнем кратности 1.
   (Два последних испытания, восьмая и девятая строки, в принци-
пе, можно было не делать, поскольку в седьмой строке получилось
полное частное 12(x2 + 2x + 2), являющееся квадратным трехчле-
ном, корни которого можно найти по формуле. В данном случае
дискриминант квадратного трехчлена оказывается отрицательным,
следовательно, не только рациональных, но и действительных кор-
ней больше не будет.)
  Замечание 42.1. Maple легко находит рациональные корни для
многочленов с целыми коэффициентами. Мы уже указывали в при-
мере 40.2, что, по умолчанию, система настроена так, что корни
ищутся в наименьшем из полей, содержащем коэффициенты мно-
гочлена. В случае коэффициентов из Z таким полем является Q,
поэтому команда roots (без "дополнительных просьб") возвращает
лишь рациональные корни для многочлена с целыми коэффициен-
тами.