Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 389 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 42 Рациональные корни многочленов над Q 389
(натуральному) знаменателю q = [q
0
, q
1
, ..., q
n
]:
a
i
=
p
0
i
q
; p
0
i
∈ Z (i = 0, ..., n); q ∈ N. (42.2)
Для целых чисел p
0
i
(i = 0, ..., n) можно найти (натуральный) наи-
больший общий делитель p
0
= (p
0
0
, p
0
1
, ..., p
0
n
) и представить эти числа
в виде
p
0
i
= p
0
b
i
; b
i
∈ Z (i = 0, ..., n). (42.3)
Образовавшийся общий множитель p
0
/q можно вынести за скобки;
в скобках останется многочлен g(x) с целыми взаимно простыми
коэффициентами:
f(x) =
p
0
q
g(x); (42.4)
g(x) = b
0
x
n
+ b
1
x
n−1
+ ... + b
n−1
x + b
n
;
b
i
∈ Z (i = 0, ..., n); b
0
6= 0; (b
0
, b
1
, ..., b
n
) = 1. (42.5)
Данный многочлен f(x) ∈ Q[x] оказывается пропорциональным
(с рациональным коэффициентом пропорциональности) многочлену
g(x) ∈ Z[x] с взаимно простыми коэффициентами.
Корнями исходного многочлена f(x) будут корни многочлена g(x)
и только они.
Поэтому рассматриваемая далее задача отыскания рациональных
корней для многочлена с рациональными коэффициентами может
быть сведена к аналогичной задаче для многочлена с целыми (и да-
же взаимно простыми) коэффициентами.
42.2. Рациональные корни многочлена с целыми коэф-
фициентами. Рассмотрим многочлен вида (36.18), положительной
степени n, с целыми коэффициентами:
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ... + a
n−1
x + a
n
;
a
i
∈ Z (i = 0, ..., n); a
0
6= 0. (42.6)
Если свободный член a
n
= 0, то многочлен f(x) будет делиться
на x (что равносильно наличию нулевого корня). Вынося за скоб-
ку наибольшую степень x, на которую делится данный многочлен,
мы получим в скобках новый многочлен, с ненулевым свободным
членом, который подлежит дальнейшему исследованию.
§ 42          Рациональные корни многочленов над Q                              389

(натуральному) знаменателю q = [q0 , q1 , ..., qn ]:

                      p0i 0
                  ai = ; pi ∈ Z (i = 0, ..., n); q ∈ N.                        (42.2)
                      q

   Для целых чисел p0i (i = 0, ..., n) можно найти (натуральный) наи-
больший общий делитель p0 = (p00 , p01 , ..., p0n ) и представить эти числа
в виде
                  p0i = p0 bi ; bi ∈ Z (i = 0, ..., n).               (42.3)
   Образовавшийся общий множитель p0 /q можно вынести за скобки;
в скобках останется многочлен g(x) с целыми взаимно простыми
коэффициентами:
                                p0
                         f (x) = g(x);                     (42.4)
                                q


  g(x) = b0 xn + b1 xn−1 + ... + bn−1 x + bn ;
                  bi ∈ Z (i = 0, ..., n); b0 6= 0; (b0 , b1 , ..., bn ) = 1.   (42.5)

   Данный многочлен f (x) ∈ Q[x] оказывается пропорциональным
(с рациональным коэффициентом пропорциональности) многочлену
g(x) ∈ Z[x] с взаимно простыми коэффициентами.
   Корнями исходного многочлена f (x) будут корни многочлена g(x)
и только они.
   Поэтому рассматриваемая далее задача отыскания рациональных
корней для многочлена с рациональными коэффициентами может
быть сведена к аналогичной задаче для многочлена с целыми (и да-
же взаимно простыми) коэффициентами.
   42.2. Рациональные корни многочлена с целыми коэф-
фициентами. Рассмотрим многочлен вида (36.18), положительной
степени n, с целыми коэффициентами:

  f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an ;
                                         ai ∈ Z (i = 0, ..., n); a0 6= 0.      (42.6)

  Если свободный член an = 0, то многочлен f (x) будет делиться
на x (что равносильно наличию нулевого корня). Вынося за скоб-
ку наибольшую степень x, на которую делится данный многочлен,
мы получим в скобках новый многочлен, с ненулевым свободным
членом, который подлежит дальнейшему исследованию.

Страницы