Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 386 стр.

386                   Алгебра многочленов                      Гл. 6

называемая разложением (или, несколько жаргонно, переразложе-
нием) f (x) по степеням x − c.

  Замечание 41.2. Правая часть этой формулы является многочле-
ном степени n от новой переменной x − c. Коэффициенты этого мно-
гочлена получились занумерованными в порядке возрастания степе-
ней. Свободный член h0 равен значению f (c). Старший коэффици-
ент hn , как нетрудно понять, раскрыв степени по формуле бинома
Ньютона (ср. с замечанием 39.6), равен старшему коэффициенту a0
исходного многочлена f (x).

  Формулу (41.8) называют также формулой Тейлора для многочле-
на f (x) в точке c.

   Замечание 41.3. Формула с таким названием является одной из
самых знаменитых и важнейших формул математического анализа.
В анализе она записывается не только для многочленов, но и — с
дополнительным (остаточным) членом — для произвольных функ-
ций от действительной или комплексной переменной, достаточное
число раз дифференцируемых в окрестности точки c; коэффициенты
Тейлора hk (k = 0, ..., n) выражаются через производные f (k) (c).
   В алгебре изучаются многочлены на полях произвольной приро-
ды, без привлечения понятия предельного перехода (являющегося в
анализе необходимой предпосылкой для определения производной).
Тем не менее производные (для многочленов) можно определить и в
алгебре, "своими" методами, не использующими предельного пере-
хода. Этим мы займемся ниже, в § 47.
   Выражения hk через производные также будут нами получены
(см. п. 47.3) чисто алгебраическими средствами.

   А сейчас мы изучим метод вычисления коэффициентов формулы
Тейлора с помощью схемы Горнера.
   Осуществляя по Горнеру каждое из делений на x − c, мы придем
к "ступенчатой" схеме (см. табл. 41.2а в прил. 2). К схеме добавле-
на "для красоты" еще одна, одноклеточная строка, которую можно
понимать как изображение деления с остатком многочлена нулевой
степени qn (x) = hn на x − c: неполное частное будет нулевым, а оста-
ток будет совпадать с hn ; именно этот элемент занимает последнюю
клеточку таблицы.
   Обратите внимание на то, что во всем столбце старших коэффи-
циентов будет фигурировать один и тот же элемент a0 .