Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 491 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 50 Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 491
Найдем дискриминант правой части последнего уравнения, рас-
сматривая ее как квадратный трехчлен по y:
D = 1 − 8λ
µ
λ
2
+
5
2
λ −
5
4
= −8λ
3
− 20λ
2
+ 10λ + 1.
Приравниваем этот дискриминант нулю, получая тем самым ус-
ловие того, что правая часть представляет из себя полный квадрат.
После домножения на −1 указанное условие принимает вид:
8λ
3
+ 20λ
2
− 10λ − 1 = 0.
Это уравнение и есть кубическая резольвента исходного уравне-
ния четвертой степени.
Сейчас, начиная решение резольвенты, нам следовало бы, в соот-
ветствии с методом (ФТК), произвести замену λ = u + v; вывести
систему уравнений для u и v; и т. д. Но данный (учебный) пример
подобран таким образом, чтобы ранее изученный этап не был гро-
моздким (не отвлекал читателей от вновь изучаемого метода).
Нам нужен один (любой) из корней резольвенты. В данном слу-
чае его можно найти простым подбором (по методу отыскания ра-
циональных корней для многочлена с целыми коэффициентами; см.
п. 42.3).
Резольвента в данном примере имеет рациональный корень
λ = λ
0
=
1
2
.
Уравнение (50.32) приобретает вид
µ
y
2
+
7
4
2
=
µ
y −
1
2
2
и равносильно совокупности
·
y
2
+
7
4
= y −
1
2
;
y
2
+
7
4
= −
¡
y −
1
2
¢
.
Решая эти квадратные уравнения, находим четыре корня:
y
1,2
=
1
2
± i
√
2; y
3,4
= −
1
2
± i.
Возвращаясь к неизвестной x, получаем
О т в е т:
x
1,2
= 1 ± i
√
2; x
3,4
= ±i.
§ 50      Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие         491

  Найдем дискриминант правой части последнего уравнения, рас-
сматривая ее как квадратный трехчлен по y:
                  µ            ¶
                     2  5    5
       D = 1 − 8λ λ + λ −        = −8λ3 − 20λ2 + 10λ + 1.
                        2    4
  Приравниваем этот дискриминант нулю, получая тем самым ус-
ловие того, что правая часть представляет из себя полный квадрат.
  После домножения на −1 указанное условие принимает вид:
                      8λ3 + 20λ2 − 10λ − 1 = 0.
   Это уравнение и есть кубическая резольвента исходного уравне-
ния четвертой степени.
   Сейчас, начиная решение резольвенты, нам следовало бы, в соот-
ветствии с методом (ФТК), произвести замену λ = u + v; вывести
систему уравнений для u и v; и т. д. Но данный (учебный) пример
подобран таким образом, чтобы ранее изученный этап не был гро-
моздким (не отвлекал читателей от вновь изучаемого метода).
   Нам нужен один (любой) из корней резольвенты. В данном слу-
чае его можно найти простым подбором (по методу отыскания ра-
циональных корней для многочлена с целыми коэффициентами; см.
п. 42.3).
   Резольвента в данном примере имеет рациональный корень
                                          1
                               λ = λ0 =     .
                                          2
   Уравнение (50.32) приобретает вид
                      µ          ¶2 µ       ¶2
                               7          1
                        y2 +       = y−
                               4          2
и равносильно совокупности
                     · 2 7
                       y +4 =        ¡y − 12 ¢;
                       y 2 + 74 = − y − 12 .
   Решая эти квадратные уравнения, находим четыре корня:
                        1   √            1
                  y1,2 = ± i 2; y3,4 = − ± i.
                        2                2
   Возвращаясь к неизвестной x, получаем
   О т в е т:                       √
                      x1,2   = 1 ± i 2; x3,4 = ±i.

Страницы