Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 490 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

490 Алгебра многочленов Гл. 6
где можно взять любое из двух значений корня
√
2λ
0
.
Квадраты двух чисел совпадают тогда и только тогда, когда дан-
ные числа либо совпадают, либо отличаются знаком. Поэтому урав-
нение (50.33) равносильно следующей совокупности двух квадрат-
ных уравнений:
x
2
+
p
2
+ λ
0
=
√
2λ
0
³
x +
q
4λ
0
´
;
x
2
+
p
2
+ λ
0
= −
√
2λ
0
³
x +
q
4λ
0
´
.
(50.34)
Пусть x
1,2
— корни первого из уравнений совокупности (50.34), а
x
3,4
— корни второго уравнения. Тогда четыре числа
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
будут корнями исходного уравнения (50.26).
Пример 50.4. Решим уравнение четвертой степени
x
4
− 2x
3
+ 4x
2
− 2x + 3.
Произведем замену
x = y +
1
2
или, другим словами, переразложим (с помощью схемы Горнера; см.
п. 41.2) левую часть по степеням y = x −
1
2
. Получим:
y
4
+
5
2
y
2
+ y +
45
16
= 0.
Разносим члены и дважды выделяем в левой части полный квад-
рат (вводя на втором этапе параметр λ):
y
4
+
5
2
y
2
= −y −
45
16
; y
4
+
5
2
y
2
+
25
16
= −y −
45
16
+
25
16
;
µ
y
2
+
5
4
2
= −y −
5
4
;
µ
y
2
+
5
4
2
+ 2λ
µ
y
2
+
5
4
+ λ
2
= 2λ
µ
y
2
+
5
4
+ λ
2
− y −
5
4
;
µ
y
2
+
5
4
+ λ
2
= 2λy
2
− y +
µ
λ
2
+
5
2
λ −
5
4
.
490                    Алгебра многочленов                       Гл. 6
                                             √
где можно взять любое из двух значений корня 2λ0 .
   Квадраты двух чисел совпадают тогда и только тогда, когда дан-
ные числа либо совпадают, либо отличаются знаком. Поэтому урав-
нение (50.33) равносильно следующей совокупности двух квадрат-
ных уравнений:
                                  √    ³       ´
                 2  p                         q
                x + 2 + λ0 =         2λ0 x + 4λ0 ;
                                  √    ³       ´         (50.34)
                 2  p                         q
                x + 2 + λ0 = −       2λ0 x + 4λ0 .

   Пусть x1,2 — корни первого из уравнений совокупности (50.34), а
x3,4 — корни второго уравнения. Тогда четыре числа

                             x 1 , x2 , x3 , x4

будут корнями исходного уравнения (50.26).
  Пример 50.4. Решим уравнение четвертой степени

                        x4 − 2x3 + 4x2 − 2x + 3.

  Произведем замену
                                     1
                               x=y+
                                     2
или, другим словами, переразложим (с помощью схемы Горнера; см.
п. 41.2) левую часть по степеням y = x − 12 . Получим:

                            5         45
                        y4 + y2 + y +    = 0.
                            2         16
  Разносим члены и дважды выделяем в левой части полный квад-
рат (вводя на втором этапе параметр λ):

                5            45         5    25          45 25
         y 4 + y 2 = −y − ; y 4 + y 2 +          = −y −     + ;
                2            16         2    16          16 16
                         µ        ¶2
                                5           5
                          y2 +       = −y − ;
                                4           4
      µ        ¶2       µ        ¶          µ        ¶
             5                 5                   5             5
       y2 +        + 2λ y 2 +      + λ2 = 2λ y 2 +     + λ2 − y − ;
             4                 4                   4             4
               µ            ¶2              µ              ¶
                      5                            5     5
                 y 2 + + λ = 2λy 2 − y + λ2 + λ −            .
                      4                            2     4

Страницы