Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 489 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 50 Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 489
Как известно из школьного курса алгебры, квадратный трехчлен
ax
2
+bx+c является полным квадратом, т. е. представляется в виде
ax
2
+ bx + c = a(x − x
0
)
2
, x
0
= −
b
2a
,
тогда и только тогда, когда его дискриминант D = 0.
(Вообще-то мы здесь немного грешим против истины: в школе
это утверждение доказывалось для многочленов над полем R. Но
вы должны были уже привыкнуть к тому, что все факты, доказа-
тельство которых опирается лишь на аксиомы поля, справедливы
над любым полем. Сейчас мы работаем над C.)
Подберем теперь значение параметра λ так, чтобы многочлен от
x в правой части (50.28) являлся полным квадратом.
Вид этого полного квадрата должен быть следующим:
2λ
³
x +
q
4λ
´
2
, (50.30)
а условие D = 0, из которого нам потребуется находить λ, выглядит
так:
q
2
− 4 · 2λ ·
µ
λ
2
+ pλ − r +
p
2
4
= 0
— или, если расположить члены по степеням λ и домножить на −1:
8λ
3
+ 8pλ
2
+ 2(p
2
− 4r)λ − q
2
= 0. (50.31)
Уравнение (50.31) является кубическим относительно λ; оно на-
зывается резольвентой для исходного уравнения (50.26). Нам нужен
один (любой) корень резольвенты.
Поскольку в предыдущем пункте мы обучились решению куби-
ческих уравнений, то будем считать, что некоторый корень (50.31)
(обозначим его λ
0
) мы уже нашли.
Теперь мы можем записать уравнение (50.28) при λ = λ
0
, придав
правой части вид (50.30):
³
x
2
+
p
2
+ λ
0
´
2
= 2λ
0
µ
x +
q
4λ
0
2
. (50.32)
Подведем множитель 2λ
0
"под квадрат"; получим:
³
x
2
+
p
2
+ λ
0
´
2
=
·
p
2λ
0
µ
x +
q
4λ
0
¶¸
2
, (50.33)
§ 50     Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие           489

  Как известно из школьного курса алгебры, квадратный трехчлен
  2
ax + bx + c является полным квадратом, т. е. представляется в виде
                                                      b
               ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 , x0 = −      ,
                                                     2a
тогда и только тогда, когда его дискриминант D = 0.
   (Вообще-то мы здесь немного грешим против истины: в школе
это утверждение доказывалось для многочленов над полем R. Но
вы должны были уже привыкнуть к тому, что все факты, доказа-
тельство которых опирается лишь на аксиомы поля, справедливы
над любым полем. Сейчас мы работаем над C.)
   Подберем теперь значение параметра λ так, чтобы многочлен от
x в правой части (50.28) являлся полным квадратом.
   Вид этого полного квадрата должен быть следующим:
                             ³      q ´2
                           2λ x +        ,               (50.30)
                                   4λ
а условие D = 0, из которого нам потребуется находить λ, выглядит
так:                          µ                 ¶
                                              2
                                             p
                q 2 − 4 · 2λ · λ2 + pλ − r +      =0
                                             4
— или, если расположить члены по степеням λ и домножить на −1:

                8λ3 + 8pλ2 + 2(p2 − 4r)λ − q 2 = 0.         (50.31)

   Уравнение (50.31) является кубическим относительно λ; оно на-
зывается резольвентой для исходного уравнения (50.26). Нам нужен
один (любой) корень резольвенты.
   Поскольку в предыдущем пункте мы обучились решению куби-
ческих уравнений, то будем считать, что некоторый корень (50.31)
(обозначим его λ0 ) мы уже нашли.
   Теперь мы можем записать уравнение (50.28) при λ = λ0 , придав
правой части вид (50.30):
                ³            ´2    µ        ¶2
                        p                q
                    x2 + + λ0 = 2λ0 x +        .            (50.32)
                        2               4λ0
   Подведем множитель 2λ0 "под квадрат"; получим:
             ³    p     ´2 ·p       µ
                                           q
                                              ¶¸2
                2
               x + + λ0 =       2λ0 x +           ,         (50.33)
                  2                       4λ0

Страницы