Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 488 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

488 Алгебра многочленов Гл. 6
Начинается решение, как и для кубических уравнений, с нормали-
зации левой части и удаления из нее (с помощью описанной в п. 50.1
замены неизвестной) кубического члена.
Будем считать, что уравнение уже имеет упрощенный вид:
x
4
+ px
2
+ qx + r = 0. (50.26)
Случай r = 0 сразу приводит к отысканию одного (нулевого) кор-
ня, после чего дело сводится к кубическому уравнению. Случай
q = 0 также малоинтересен: это — биквадратное уравнение, легко
сводимое к квадратному. Поэтому в дальнейшем можно считать,
что q, r 6= 0.
Основным приемом в методе Феррари служит особый вариант вы-
деления полного квадрата, не тот, что вы проходили в школе, а более
сложный.
Сначала "разнесем" члены: два старших останутся слева, а два
младших перенесем в правую часть. Затем к обеим частям добавим
выражение
p
2
4
и свернем в левой части полный квадрат. Получим:
x
4
+ px
2
= −qx − r; x
4
+ 2 · x
2
·
p
2
+
p
2
4
= −qx − r +
p
2
4
;
³
x
2
+
p
2
´
2
= −qx − r +
p
2
4
. (50.27)
Это было первое выделение полного квадрата, вполне "школь-
ное". Теперь наступает главный момент решения: к обеим частям
(50.27) мы добавим выражение 2(x
2
+
p
2
)λ + λ
2
, содержащее пара-
метр λ (новую, совершенно "постороннюю" переменную, вводимую
для "обретения свободы"). Затем в левой части снова свернем пол-
ный квадрат.
Получим:
³
x
2
+
p
2
´
2
+ 2(x
2
+
p
2
)λ + λ
2
= 2(x
2
+
p
2
)λ + λ
2
− qx − r +
p
2
4
;
³
x
2
+
p
2
+ λ
´
2
= 2λx
2
− qx +
µ
λ
2
+ pλ − r +
p
2
4
. (50.28)
Правую часть формулы (50.28) рассмотрим как квадратный трех-
член от переменной x, с коэффициентами
a = 2λ; b = −q; c = λ
2
+ pλ − r +
p
2
4
. (50.29)
488                    Алгебра многочленов                   Гл. 6

  Начинается решение, как и для кубических уравнений, с нормали-
зации левой части и удаления из нее (с помощью описанной в п. 50.1
замены неизвестной) кубического члена.
  Будем считать, что уравнение уже имеет упрощенный вид:

                         x4 + px2 + qx + r = 0.             (50.26)

   Случай r = 0 сразу приводит к отысканию одного (нулевого) кор-
ня, после чего дело сводится к кубическому уравнению. Случай
q = 0 также малоинтересен: это — биквадратное уравнение, легко
сводимое к квадратному. Поэтому в дальнейшем можно считать,
что q, r 6= 0.
   Основным приемом в методе Феррари служит особый вариант вы-
деления полного квадрата, не тот, что вы проходили в школе, а более
сложный.
   Сначала "разнесем" члены: два старших останутся слева, а два
младших перенесем в правую часть. Затем к обеим частям добавим
               2
выражение p4 и свернем в левой части полный квадрат. Получим:

            4    2             4       2  p p2             p2
           x + px = −qx − r; x + 2 · x · +      = −qx − r + ;
                                          2   4            4
                    ³      p ´ 2            p2
                      x2 +       = −qx − r + .              (50.27)
                           2                4
   Это было первое выделение полного квадрата, вполне "школь-
ное". Теперь наступает главный момент решения: к обеим частям
(50.27) мы добавим выражение 2(x2 + p2 )λ + λ2 , содержащее пара-
метр λ (новую, совершенно "постороннюю" переменную, вводимую
для "обретения свободы"). Затем в левой части снова свернем пол-
ный квадрат.
   Получим:
  ³       p ´2         p              p                 p2
       2            2        2     2        2
      x +      + 2(x + )λ + λ = 2(x + )λ + λ − qx − r + ;
          2            2             µ2              ¶ 4
           ³      p   ´ 2                         p2
             x2 + + λ = 2λx2 − qx + λ2 + pλ − r +     . (50.28)
                  2                               4

  Правую часть формулы (50.28) рассмотрим как квадратный трех-
член от переменной x, с коэффициентами

                                       2         p2
                 a = 2λ; b = −q; c = λ + pλ − r + .         (50.29)
                                                 4

Страницы