Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 486 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

486 Алгебра многочленов Гл. 6
Возвращаясь к старой неизвестной, получаем:
x
0
= y
0
+ 3 = 5; x
1
= y
1
+ 3 = 2 −
√
3; x
2
= y
2
+ 3 = 2 +
√
3.
О т в е т: 5; 2 −
√
3; 2 +
√
3.
Замечание 50.3. 1. Обратите внимание на то, что в разобранном
выше примере кубический многочлен с действительными коэффи-
циентами имел три действительных корня. Любопытно, однако, что
при их отыскании пришлось извлекать квадратный корень из отри-
цательного действительного числа, а затем — кубический корень из
комплексного числа.
Именно такая ситуация была камнем преткновения как для Тар-
тальи, так и для Кардано. Последний, будучи более опытным и сме-
лым в математике, фактически положил начало легализации мни-
мых чисел в алгебре. (Как ни странно, в ту эпоху не признавали
также и отрицательные действительные числа, и это непризнание
продержалось чуть ли не дольше, чем непризнание мнимых чисел.)
2. Можно во всех подробностях разобрать случай действительных
коэффициентов в кубическом уравнении и выяснить, когда такое
уравнение имеет:
— три действительных различных корня;
— три действительных корня, два из которых одинаковы;
— один действительный корень кратности три;
— один действительный корень и два сопряженных друг другу
комплексных корня.
Решающую роль в анализе будет играть дискриминант.
(Мы настоятельно рекомендуем читателям ознакомиться с этим
анализом и соответствующими примерами по какому-либо из учеб-
ников, указанных в списке литературы.)
Пример 50.2. Решим кубическое уравнение с комплексными ко-
эффициентами:
x
3
+ 3x − 2i = 0.
Это уравнение уже является упрощенным (не содержит квадра-
тичного члена). Дискриминант многочлена в левой части:
D = −4p
3
− 27q
2
= −4 · 27 − 27 · (−4) = 0.
Следовательно, уравнение имеет кратные корни. Число u
0
нахо-
дится как любое из значений кубического корня:
u =
3
r
−
q
2
=
3
√
i.
486                 Алгебра многочленов                    Гл. 6

  Возвращаясь к старой неизвестной, получаем:
                                     √                    √
   x0 = y0 + 3 = 5; x1 = y1 + 3 = 2 − 3; x2 = y2 + 3 = 2 + 3.
                    √       √
  О т в е т: 5; 2 − 3; 2 + 3.
  Замечание 50.3. 1. Обратите внимание на то, что в разобранном
выше примере кубический многочлен с действительными коэффи-
циентами имел три действительных корня. Любопытно, однако, что
при их отыскании пришлось извлекать квадратный корень из отри-
цательного действительного числа, а затем — кубический корень из
комплексного числа.
  Именно такая ситуация была камнем преткновения как для Тар-
тальи, так и для Кардано. Последний, будучи более опытным и сме-
лым в математике, фактически положил начало легализации мни-
мых чисел в алгебре. (Как ни странно, в ту эпоху не признавали
также и отрицательные действительные числа, и это непризнание
продержалось чуть ли не дольше, чем непризнание мнимых чисел.)
  2. Можно во всех подробностях разобрать случай действительных
коэффициентов в кубическом уравнении и выяснить, когда такое
уравнение имеет:
  — три действительных различных корня;
  — три действительных корня, два из которых одинаковы;
  — один действительный корень кратности три;
  — один действительный корень и два сопряженных друг другу
комплексных корня.
  Решающую роль в анализе будет играть дискриминант.
  (Мы настоятельно рекомендуем читателям ознакомиться с этим
анализом и соответствующими примерами по какому-либо из учеб-
ников, указанных в списке литературы.)
  Пример 50.2. Решим кубическое уравнение с комплексными ко-
эффициентами:
                     x3 + 3x − 2i = 0.
  Это уравнение уже является упрощенным (не содержит квадра-
тичного члена). Дискриминант многочлена в левой части:
            D = −4p3 − 27q 2 = −4 · 27 − 27 · (−4) = 0.
  Следовательно, уравнение имеет кратные корни. Число u0 нахо-
дится как любое из значений кубического корня:
                            r
                                q   √3
                        u = 3 − = i.
                                2

Страницы