ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§
§
§ 50 Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 485
Пример 50.1. Решим полное кубическое уравнение (с действи-
тельными коэффициентами):
x
3
− 9x
2
+ 21x − 5 = 0.
Сделаем упрощающую замену неизвестной (50.4):
x = y + 3.
Относительно новой неизвестной y получим уравнение, не содер-
жащее квадратичного члена:
y
3
− 6y + 4 = 0.
Выражение (50.25) под квадратным корнем в формуле (ФТК) бу-
дет иметь следующий вид:
q
2
4
+
p
3
27
= 4 − 8 = −4.
Корень квадратный из этого числа будет иметь два значения: ±2i.
Найдем одно (любое) значение u
0
кубического корня (50.23):
u =
3
√
−2 + 2i.
Число
−2 + 2i = 2
√
2(cos
3π
4
+ i sin
3π
4
) = (
√
2)
3
(cos 3 ·
π
4
+ i sin 3 ·
π
4
)
имеет в качестве главного значения кубического корня число
u
0
=
√
2(cos
π
4
+ i sin
π
4
) = 1 + i.
По формуле (50.21) находим:
v
0
= −
p
3u
0
= −
−6
3(1 + i)
=
2
1 + i
= 1 − i.
Формулы (50.22) теперь дают:
y
0
= u
0
+ v
0
= (1 + i) + (1 − i) = 2;
x
1
= u
0
ζ + v
0
ζ
2
= (1 + i)
−
√
3 + i
2
+ (1 − i)
−
√
3 − i
2
= −1 −
√
3;
x
2
= u
0
ζ
2
+ v
0
ζ = (1 + i)
−
√
3 − i
2
+ (1 − i)
−
√
3 + i
2
= −1 +
√
3.
§ 50 Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 485 Пример 50.1. Решим полное кубическое уравнение (с действи- тельными коэффициентами): x3 − 9x2 + 21x − 5 = 0. Сделаем упрощающую замену неизвестной (50.4): x = y + 3. Относительно новой неизвестной y получим уравнение, не содер- жащее квадратичного члена: y 3 − 6y + 4 = 0. Выражение (50.25) под квадратным корнем в формуле (ФТК) бу- дет иметь следующий вид: q2 p3 + = 4 − 8 = −4. 4 27 Корень квадратный из этого числа будет иметь два значения: ±2i. Найдем одно (любое) значение u0 кубического корня (50.23): √ u = 3 −2 + 2i. Число √ 3π 3π √ π π −2 + 2i = 2 2(cos + i sin ) = ( 2)3 (cos 3 · + i sin 3 · ) 4 4 4 4 имеет в качестве главного значения кубического корня число √ π π u0 = 2(cos + i sin ) = 1 + i. 4 4 По формуле (50.21) находим: p −6 2 v0 = − =− = = 1 − i. 3u0 3(1 + i) 1+i Формулы (50.22) теперь дают: y0 = u0 + v0 = (1 + i) + (1 − i) = 2; √ √ − 3 + i − 3−i √ x1 = u0 ζ + v0 ζ 2 = (1 + i) + (1 − i) = −1 − 3; √2 √2 − 3−i − 3+i √ x2 = u0 ζ 2 + v0 ζ = (1 + i) + (1 − i) = −1 + 3. 2 2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 483
- 484
- 485
- 486
- 487
- …
- следующая ›
- последняя »