Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 485 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 50 Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 485
Пример 50.1. Решим полное кубическое уравнение (с действи-
тельными коэффициентами):
x
3
− 9x
2
+ 21x − 5 = 0.
Сделаем упрощающую замену неизвестной (50.4):
x = y + 3.
Относительно новой неизвестной y получим уравнение, не содер-
жащее квадратичного члена:
y
3
− 6y + 4 = 0.
Выражение (50.25) под квадратным корнем в формуле (ФТК) бу-
дет иметь следующий вид:
q
2
4
+
p
3
27
= 4 − 8 = −4.
Корень квадратный из этого числа будет иметь два значения: ±2i.
Найдем одно (любое) значение u
0
кубического корня (50.23):
u =
3
√
−2 + 2i.
Число
−2 + 2i = 2
√
2(cos
3π
4
+ i sin
3π
4
) = (
√
2)
3
(cos 3 ·
π
4
+ i sin 3 ·
π
4
)
имеет в качестве главного значения кубического корня число
u
0
=
√
2(cos
π
4
+ i sin
π
4
) = 1 + i.
По формуле (50.21) находим:
v
0
= −
p
3u
0
= −
−6
3(1 + i)
=
2
1 + i
= 1 − i.
Формулы (50.22) теперь дают:
y
0
= u
0
+ v
0
= (1 + i) + (1 − i) = 2;
x
1
= u
0
ζ + v
0
ζ
2
= (1 + i)
−
√
3 + i
2
+ (1 − i)
−
√
3 − i
2
= −1 −
√
3;
x
2
= u
0
ζ
2
+ v
0
ζ = (1 + i)
−
√
3 − i
2
+ (1 − i)
−
√
3 + i
2
= −1 +
√
3.
§ 50       Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие              485

  Пример 50.1. Решим полное кубическое уравнение (с действи-
тельными коэффициентами):

                         x3 − 9x2 + 21x − 5 = 0.

   Сделаем упрощающую замену неизвестной (50.4):

                               x = y + 3.

  Относительно новой неизвестной y получим уравнение, не содер-
жащее квадратичного члена:

                            y 3 − 6y + 4 = 0.

  Выражение (50.25) под квадратным корнем в формуле (ФТК) бу-
дет иметь следующий вид:
                         q2   p3
                            +    = 4 − 8 = −4.
                         4    27
   Корень квадратный из этого числа будет иметь два значения: ±2i.
   Найдем одно (любое) значение u0 кубического корня (50.23):
                              √
                          u = 3 −2 + 2i.

   Число
              √      3π         3π      √            π           π
   −2 + 2i = 2 2(cos    + i sin    ) = ( 2)3 (cos 3 · + i sin 3 · )
                      4          4                   4           4
имеет в качестве главного значения кубического корня число
                      √       π       π
                  u0 = 2(cos + i sin ) = 1 + i.
                              4       4
   По формуле (50.21) находим:
                         p       −6        2
               v0 = −       =−          =     = 1 − i.
                        3u0    3(1 + i)   1+i
   Формулы (50.22) теперь дают:
   y0 = u0 + v0 = (1 + i) + (1 − i) = 2;
                                  √                   √
                                −   3 + i           −   3−i       √
   x1 = u0 ζ + v0 ζ 2 = (1 + i)           + (1 − i)         = −1 − 3;
                                  √2                  √2
                                − 3−i               − 3+i         √
   x2 = u0 ζ 2 + v0 ζ = (1 + i)           + (1 − i)         = −1 + 3.
                                   2                   2

Страницы