Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 484 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

484 Алгебра многочленов Гл. 6
или
x
0
= u
0
+ v
0
;
x
1
= u
0
ζ + v
0
ζ
2
;
x
2
= u
0
ζ
2
+ v
0
ζ,
(50.22)
где (напомним) u
0
— любое значение кубического корня
u =
3
s
−
q
2
+
r
q
2
4
+
p
3
27
, (50.23)
а v
0
— однозначно определяется по u
0
по формуле (50.21).
Окончательный ответ, содержащий все корни кубического урав-
нения, можно представить в виде следующей знаменитой формулы
Ферро — Тартальи — Кардано (ФТК):
x =
3
s
−
q
2
−
r
q
2
4
+
p
3
27
+
3
s
−
q
2
+
r
q
2
4
+
p
3
27
. (50.24)
Однако лишний раз подчеркнем, что формула (ФТК) — из тех, к
которым, как говорится, "требуется еще голова". Здесь не срабаты-
вает автоматическая подстановка своих данных в готовую формулу
(подобно тому, как это было для случая квадратного уравнения),
ибо необходим сознательный отбор трех правильных из девяти воз-
можных значений правой части.
Замечание 50.2. Отметим, что в проведенных выше вычислениях
под знаком квадратного корня фигурировала величина
q
2
4
+
p
3
27
= −
D
108
, (50.25)
где D — дискриминант (49.40) неполного кубического многочлена
x
3
+ px + q.
Если D = 0, то оба числа, u
0
и v
0
, в формулах (50.22) являются
кубическими корнями из −
q
2
. Поэтому
1) либо v
0
= u
0
, и тогда x
1
= x
2
,
2) либо v
0
= u
0
ζ, и тогда x
0
= x
1
,
3) либо v
0
= u
0
ζ
2
, и тогда x
0
= x
2
.
Во всех трех случаях появляется корень кратности как минимум
два. Возможен случай трехкратного корня. (Попробуйте выяснить,
при каком условии это имеет место.)
484                  Алгебра многочленов                    Гл. 6

или
                     x0   = u0       +    v0 ;
                     x1   = u0 ζ     +   v0 ζ 2 ;          (50.22)
                     x2   = u0 ζ 2   +   v0 ζ,
где (напомним) u0 — любое значение кубического корня
                        s       r
                         3  q     q2   p3
                     u= − +          + ,                   (50.23)
                            2      4   27

а v0 — однозначно определяется по u0 по формуле (50.21).
   Окончательный ответ, содержащий все корни кубического урав-
нения, можно представить в виде следующей знаменитой формулы
Ферро — Тартальи — Кардано (ФТК):
            s       r           s       r
             3  q     q 2   p3  3   q     q2  p3
        x= − −            +    + − +         + .         (50.24)
                2     4     27      2     4   27

   Однако лишний раз подчеркнем, что формула (ФТК) — из тех, к
которым, как говорится, "требуется еще голова". Здесь не срабаты-
вает автоматическая подстановка своих данных в готовую формулу
(подобно тому, как это было для случая квадратного уравнения),
ибо необходим сознательный отбор трех правильных из девяти воз-
можных значений правой части.
  Замечание 50.2. Отметим, что в проведенных выше вычислениях
под знаком квадратного корня фигурировала величина

                          q2   p3     D
                             +    =−     ,                 (50.25)
                          4    27    108
где D — дискриминант (49.40) неполного кубического многочлена
x3 + px + q.
   Если D = 0, то оба числа, u0 и v0 , в формулах (50.22) являются
кубическими корнями из − 2q . Поэтому
   1) либо v0 = u0 , и тогда x1 = x2 ,
   2) либо v0 = u0 ζ, и тогда x0 = x1 ,
   3) либо v0 = u0 ζ 2 , и тогда x0 = x2 .
   Во всех трех случаях появляется корень кратности как минимум
два. Возможен случай трехкратного корня. (Попробуйте выяснить,
при каком условии это имеет место.)

Страницы