Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 483 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 50 Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 483
Девять возможных пар (u
j
, v
k
) [j, k ∈ {0, 1, 2}] образуют множе-
ство всех решений системы (50.14). Но эта система является лишь
следствием подлежавшей решению системы (50.13), и не все решения
(50.14) будут удовлетворять (50.13). Выясним, какие будут.
Возьмем одно число из списка (50.18), все равно какое. Пусть
именно оно было обозначено u
0
. Тогда остальные числа в этом списке
могут быть представлены (см. пункт 33.3, в частности, пример 33.1)
в виде
u
1
= u
0
ζ; u
2
= u
0
ζ
2
, (50.20)
где (для краткости) обозначено:
ζ = ζ
3
=
−
√
3 + i
2
; ζ
2
= ζ
2
3
=
−
√
3 − i
2
.
Аналогичным образом поступим со списком (50.19).
Рассмотрим теперь произведение u
0
v
0
. По построению
(u
0
v
0
)
3
=
³
−
p
3
´
3
.
Если два числа имеют одинаковые кубы, то сами они могут отли-
чаться лишь множителем, куб которого равен единице, т. е.
1) либо u
0
v
0
= −
p
3
, и тогда пара (u
0
, v
0
) является решением систе-
мы (50.13);
2) либо u
0
v
0
= (−
p
3
)ζ; тогда, домножая последнее равенство на ζ
2
и учитывая, что ζ
3
= 1, мы получим: u
0
v
2
= −
p
3
, и следовательно,
пара (u
0
, v
2
) есть решение (50.13);
3) либо u
0
v
0
= (−
p
3
)ζ
2
; тогда, домножая равенство на ζ, получим:
u
0
v
1
= −
p
3
, и пара (u
0
, v
1
) будет решением (50.13).
Сменим нумерацию чисел (50.19) так, чтобы решением (50.13) яв-
лялась именно пара (u
0
, v
0
). Тогда можно будет выразить еще две
пары, удовлетворяющие этой системе; это будут (u
1
, v
2
) и (u
2
, v
1
).
Вопрос практического подбора значения v
0
, соответствующего
произвольно выбранному значению u
0
, решается [после того как су-
ществование такого значения в списке (50.19) доказано] очень про-
сто. Надо взять
v
0
= −
p
3u
0
. (50.21)
Теперь можно определить три корня уравнения (50.8):
x
0
= u
0
+ v
0
;
x
1
= u
1
+ v
2
;
x
2
= u
2
+ v
1
,
§ 50      Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие                 483

   Девять возможных пар (uj , vk ) [j, k ∈ {0, 1, 2}] образуют множе-
ство всех решений системы (50.14). Но эта система является лишь
следствием подлежавшей решению системы (50.13), и не все решения
(50.14) будут удовлетворять (50.13). Выясним, какие будут.
   Возьмем одно число из списка (50.18), все равно какое. Пусть
именно оно было обозначено u0 . Тогда остальные числа в этом списке
могут быть представлены (см. пункт 33.3, в частности, пример 33.1)
в виде
                       u1 = u0 ζ; u2 = u0 ζ 2 ,                (50.20)
где (для краткости) обозначено:
                                √                      √
                             − 3+i 2                 −   3−i
                  ζ = ζ3 =               ; ζ = ζ32 =         .
                                  2                     2
   Аналогичным образом поступим со списком (50.19).
   Рассмотрим теперь произведение u0 v0 . По построению
                                            ³ p ´3
                                       3
                               (u0 v0 ) = −        .
                                               3
   Если два числа имеют одинаковые кубы, то сами они могут отли-
чаться лишь множителем, куб которого равен единице, т. е.
   1) либо u0 v0 = − p3 , и тогда пара (u0 , v0 ) является решением систе-
мы (50.13);
   2) либо u0 v0 = (− p3 )ζ; тогда, домножая последнее равенство на ζ 2
и учитывая, что ζ 3 = 1, мы получим: u0 v2 = − p3 , и следовательно,
пара (u0 , v2 ) есть решение (50.13);
   3) либо u0 v0 = (− p3 )ζ 2 ; тогда, домножая равенство на ζ, получим:
u0 v1 = − p3 , и пара (u0 , v1 ) будет решением (50.13).
   Сменим нумерацию чисел (50.19) так, чтобы решением (50.13) яв-
лялась именно пара (u0 , v0 ). Тогда можно будет выразить еще две
пары, удовлетворяющие этой системе; это будут (u1 , v2 ) и (u2 , v1 ).
   Вопрос практического подбора значения v0 , соответствующего
произвольно выбранному значению u0 , решается [после того как су-
ществование такого значения в списке (50.19) доказано] очень про-
сто. Надо взять
                                             p
                                   v0 = −       .                  (50.21)
                                            3u0
   Теперь можно определить три корня уравнения (50.8):
                              x0 = u0 + v0 ;
                              x1 = u1 + v2 ;
                              x2 = u2 + v1 ,

Страницы