Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 481 стр.

§ 50     Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие            481

неизвестные искать легче, чем одну? Да, ибо мы обретаем свободу:
к уже имеющемуся у нас уравнению (в котором теперь две неиз-
вестные) мы можем добавить новое соотношение, связывающее эти
неизвестные так, чтобы
   1) из этого соотношения две неизвестные легко выражались одна
через другую;
   2) новое соотношение вместе с исходным уравнением давали легко
решаемую систему уравнений.
   После подстановки (50.9) в (50.8) получаем:

              u3 + 3u2 v + 3uv 2 + v 3 + p(u + v) + q = 0,

или
              u3 + 3uv(u + v) + v 3 + p(u + v) + q = 0,
или
                 u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.        (50.10)
   Положим
                             3uv + p = 0.                    (50.11)
  Это и будет нашим вторым соотношением. В силу p 6= 0, из урав-
нения (50.11) вытекает, что u, v 6= 0, и следовательно, одну из этих
неизвестных легко выразить через другую.
  С учетом (50.11) уравнение (50.10) сводится к

                           u3 + v 3 + q = 0.                 (50.12)

  Итак, для двух новых неизвестных получается система уравне-
ний, которую мы запишем следующим образом:
                      ½ 3
                        u + v 3 = −q;
                                                       (50.13)
                          uv    = − p3 .

  Если u и v удовлетворяют системе (50.13), то их сумма будет кор-
нем уравнения (50.8).
  Второе из уравнений (50.13) влечет уравнение

                              3 3  p3
                             u v =− ,
                                   27
и следовательно, система (50.13) влечет систему
                        ½ 3
                          u + v 3 = −q;
                                         3                   (50.14)
                           u3 v 3  = − p27 .