Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 482 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

482 Алгебра многочленов Гл. 6
Систему (50.14) легко решить относительно u
3
и v
3
. Эти величины
можно найти как корни вспомогательного квадратного уравнения
z
2
+ qz −
p
3
27
= 0. (50.15)
(В "школьной" терминологии можно было бы выразиться так: мы
применяем "обратную теорему Виета".)
Уравнение (50.15) решается по обычным формулам для корней
квадратного уравнения, как мы это делали в § 31. Не забывайте о
том, что мы находимся в поле C. В частности, перечитайте замечание
31.6 о главном значении для квадратного корня из комплексного
числа.
В силу симметрии, все равно какому из корней квадратного урав-
нения приравнивать u
3
, а какому — v
3
. Будем считать, что
u
3
= −
q
2
+
q
q
2
4
+
p
3
27
;
v
3
= −
q
2
−
q
q
2
4
+
p
3
27
.
(50.16)
[В формулах (50.16) радикал
√
обозначает одно (любое; напри-
мер, главное) значение квадратного корня. Второе значение также
фигурирует в этих формулах как такой же радикал, но со знаком
минус перед ним.]
Теперь можно найти неизвестные u и v, извлекая кубические кор-
ни из правых частей уравнений (50.16) (см. п. 32.3):
u =
3
r
−
q
2
+
q
q
2
4
+
p
3
27
;
v =
3
r
−
q
2
−
q
q
2
4
+
p
3
27
.
(50.17)
Вот тут начинается самое тонкое место решения. Какой смысл
придать знакам кубического корня
3
√
в формулах (50.17)? Кубиче-
ский корень из ненулевого комплексного числа имеет три значения.
Поэтому фактически у нас будет три значения для u:
u
0
, u
1
, u
2
(50.18)
— и три значения для v:
v
0
, v
1
, v
2
. (50.19)
482                  Алгебра многочленов                      Гл. 6

  Систему (50.14) легко решить относительно u3 и v 3 . Эти величины
можно найти как корни вспомогательного квадратного уравнения

                           2       p3
                          z + qz −    = 0.                   (50.15)
                                   27

   (В "школьной" терминологии можно было бы выразиться так: мы
применяем "обратную теорему Виета".)
   Уравнение (50.15) решается по обычным формулам для корней
квадратного уравнения, как мы это делали в § 31. Не забывайте о
том, что мы находимся в поле C. В частности, перечитайте замечание
31.6 о главном значении для квадратного корня из комплексного
числа.
   В силу симметрии, все равно какому из корней квадратного урав-
нения приравнивать u3 , а какому — v 3 . Будем считать, что
                                   q
                      u 3 = − q + q 2 + p3 ;
                                2
                                    q4      27
                                                            (50.16)
                      v 3 = − q − q + p3 .
                                        2
                                    2             4   27

                               √
  [В формулах (50.16) радикал     обозначает одно (любое; напри-
мер, главное) значение квадратного корня. Второе значение также
фигурирует в этих формулах как такой же радикал, но со знаком
минус перед ним.]
  Теперь можно найти неизвестные u и v, извлекая кубические кор-
ни из правых частей уравнений (50.16) (см. п. 32.3):
                         r      q
                    
                                   2                 p3
                     u = − 2 + q4 +
                          3   q
                                                      27 ;
                          r      q                           (50.17)
                    
                    
                     v = 3 − q − q2 +                p3
                              2    4                  27 .


  Вот тут начинается самое тонкое√ место решения. Какой смысл
придать знакам кубического корня 3 в формулах (50.17)? Кубиче-
ский корень из ненулевого комплексного числа имеет три значения.
Поэтому фактически у нас будет три значения для u:

                               u0 , u1 , u2                  (50.18)

— и три значения для v:
                               v0 , v 1 , v 2 .              (50.19)

Страницы