Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

130 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
определено неоднозначно как подпространство (тоже за исключени-
ем тривиальных случаев), и отыскание этого подпространства сво-
дится к отысканию некоторого базиса в нем, состоящего из векторов,
дополняющих (ранее найденный) базис в W
0
до базиса в W
3
. (Можно
сказать, что сначала ищется базис, а потом — само подпространство,
как линейная оболочка базисных векторов.)
Следуя алгоритму 10.4 составляем матрицу, являющуюся конка-
тенацией матриц B
0
и B
3
, приводим эту матрицу к ступенчатому ви-
ду (без нулевых строк) и, руководствуясь расположением ступенек
в правой зоне последней матрицы, выбираем из B
3
добавочные век-
торы, которые составят базис в некотором прямом дополнении W
4
;
они будут записаны в матрицу B
4
:
(B
0
|B
3
) =
−1
0
−1
0
1
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−1 1 1 −2
1 1 1 0
−1 1 1 −1
−1 −1 0 0
−1 −3 −1 1
1 −1 −1 0
→
→ ... →
−1
0
0
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−1 1 1 −2
1 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
;
B
4
6×3
=
−1 1 −2
1 1 0
−1 1 −1
−1 0 0
−1 −1 1
1 −1 0
.
Размерность прямого дополнения, разумеется, ясна заранее:
d
4
= d
3
− d
0
= 3;
коразмерность
c
4
= codim(W
4
) = n − d
4
= 3.
Осталось найти матрицу A
4
, задающую W
4
первым способом и
выписать соответствующую однородную с.л.у. Для этого (как и в
пп. 1 и 3 решения) понадобится алгоритм 10.3.
130     Линейные пространства. Базисы и размерности              Гл. 1

определено неоднозначно как подпространство (тоже за исключени-
ем тривиальных случаев), и отыскание этого подпространства сво-
дится к отысканию некоторого базиса в нем, состоящего из векторов,
дополняющих (ранее найденный) базис в W0 до базиса в W3 . (Можно
сказать, что сначала ищется базис, а потом — само подпространство,
как линейная оболочка базисных векторов.)
   Следуя алгоритму 10.4 составляем матрицу, являющуюся конка-
тенацией матриц B0 и B3 , приводим эту матрицу к ступенчатому ви-
ду (без нулевых строк) и, руководствуясь расположением ступенек
в правой зоне последней матрицы, выбираем из B3 добавочные век-
торы, которые составят базис в некотором прямом дополнении W4 ;
они будут записаны в матрицу B4 :
                    ¯                
                −1   ¯ −1   1    1 −2
                     ¯
               0    ¯ 1    1    1  0 
                    ¯                
               −1   ¯ −1   1    1 −1 
  (B0 |B3 ) =       ¯                →
               0    ¯ −1   −1   0  0 
                    ¯                
                1    ¯ −1   −3   −1 1
                     ¯
                1      1    −1   −1 0
                                                   ¯             
                                               −1   ¯ −1 1   1 −2
                                                    ¯
                                              0    ¯ 1 1    1 0 
                                     → ... →       ¯             ;
                                                0   ¯ 0 0    1 0
                                                    ¯
                                                0      0 0   0 1

                                             
                               −1     1    −2
                              1      1    0 
                                             
                              −1     1    −1 
                        B4 =                 .
                        6×3   −1     0    0 
                                             
                               −1     −1   1
                                1     −1   0
  Размерность прямого дополнения, разумеется, ясна заранее:

                            d4 = d3 − d0 = 3;

коразмерность
                      c4 = codim(W4 ) = n − d4 = 3.
  Осталось найти матрицу A4 , задающую W4 первым способом и
выписать соответствующую однородную с.л.у. Для этого (как и в
пп. 1 и 3 решения) понадобится алгоритм 10.3.

Страницы