Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 11 Задачи на построение базисов в подпространствах 129
Благодарая формуле Грассмана, уже известна размерность пере-
сечения W
0
данных подпространств: d
0
= d
1
+ d
2
− d
3
= 1.
4. Переходим к отысканию базиса и определяющей с.л.у. для под-
пространства W
0
. Следуя алгоритму 10.6, составляем вертикальную
конкатенацию
e
A
0
матриц A
1
и A
2
; затем приводим эту конкатена-
цию к виду Жордана — Гаусса (без нулевых строк), получая тем
самым матрицу A
0
, задающую первым способом (причем экономно)
подпространство W
0
:
e
A
0
5×6
=
µ
A
1
A
2
=
−1 0 1 0 0 0
1 0 0 −2 1 0
1 0 0 0 0 1
0 0 1 −2 1 0
−1 0 2 0 0 1
→
→ ... →
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 −1
= A
0
5×6
.
Выяснилось, что в данном примере уже сама конкатенация
e
A
0
имеет полный ранг по строкам, т. е. определяет W
0
экономно. Это
можно было понять и без преобразований, поскольку из предыду-
щего пункта ясно, что c
0
= codim(W
0
) = 5, а матрица
e
A
0
как раз и
содержит 5 строк. Однако преобразования все же нужны, поскольку
только решив с.л.у. A
0
·x = 0, мы можем найти базис (и задание вто-
рым способом) для W
0
. Фундаментальная матрица для этой системы
(содержащая базис для W
0
) видна, что называется, "невооруженным
глазом":
B
0
6×1
=
−1
0
−1
0
1
1
.
5. Осталось рассмотреть последнее подпространство W
4
. Обратим
особое внимание на то, что подпространства W
3
и W
0
определяют-
ся по заданным подпространствам W
1
и W
2
совершенно однозначно.
Разумеется, базисы в них (кроме тривиальных случаев) определе-
ны неоднозначно. Напротив, W
4
(прямое дополнение к W
0
в W
3
)
§ 11     Задачи на построение базисов в подпространствах             129

   Благодарая формуле Грассмана, уже известна размерность пере-
сечения W0 данных подпространств: d0 = d1 + d2 − d3 = 1.
   4. Переходим к отысканию базиса и определяющей с.л.у. для под-
пространства W0 . Следуя алгоритму 10.6, составляем вертикальную
конкатенацию A e0 матриц A1 и A2 ; затем приводим эту конкатена-
цию к виду Жордана — Гаусса (без нулевых строк), получая тем
самым матрицу A0 , задающую первым способом (причем экономно)
подпространство W0 :
                     −1 0 1 0 0 0 

         µ        ¶     1    0   0   −2 1       0
                                                  
  e0 =       A1         1    0   0   0 0        1
  A                   =                           →
  5×6        A2         0    0   1   −2 1       0
                                                  
                         −1   0   2   0 0        1
                                                               
                                        1    0   0   0   0   1
                                      0     1   0   0   0   0 
                                                               
                              → ... →  0    0   1   0   0   1  = A0 .
                                                                5×6
                                        0    0   0   1   0   0
                                        0    0   0   0   1   −1

   Выяснилось, что в данном примере уже сама конкатенация A       e0
имеет полный ранг по строкам, т. е. определяет W0 экономно. Это
можно было понять и без преобразований, поскольку из предыду-
щего пункта ясно, что c0 = codim(W0 ) = 5, а матрица A  e0 как раз и
содержит 5 строк. Однако преобразования все же нужны, поскольку
только решив с.л.у. A0 · x = 0, мы можем найти базис (и задание вто-
рым способом) для W0 . Фундаментальная матрица для этой системы
(содержащая базис для W0 ) видна, что называется, "невооруженным
глазом":                              
                                    −1
                                   0 
                                      
                                   −1 
                            B0 =      .
                            6×1    0 
                                      
                                     1
                                     1
   5. Осталось рассмотреть последнее подпространство W4 . Обратим
особое внимание на то, что подпространства W3 и W0 определяют-
ся по заданным подпространствам W1 и W2 совершенно однозначно.
Разумеется, базисы в них (кроме тривиальных случаев) определе-
ны неоднозначно. Напротив, W4 (прямое дополнение к W0 в W3 )

Страницы