Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 11 Задачи на построение базисов в подпространствах 127
2. Приступаем к работе с подпространством W
2
. В соответствии
с алгоритмом 10.1, приведем матрицу H к виду Жордана — Гаус-
са (который можно будет рассматривать как искомую матрицу A
2
,
определяющую W
2
опять же первым способом, но — экономно):
H
5×6
→ ... →
1 0 0 0 2 −1
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
= A
2
4×6
.
Выписывая и решая однородную с.л.у. A
2
·x = 0, мы найдем фун-
даментальную матрицу этой системы, которую сразу обозначим B
2
,
поскольку она будет содержать базис для W
2
:
B
2
6×2
=
−2 1
0 0
−1 0
0 0
1 0
0 1
.
Вносим в сводку ответов размерность d
2
= dim(W
2
) = 2, а также
коразмерность c
2
= codim(W
2
) = 4 второго подпространства.
3. Займемся подпространством W
3
, представляющим из себя сум-
му двух данных подпространств. Следуя алгоритму 10.5, составим
конкатенацию G
3
матриц B
1
и B
2
, приведем ее к ступенчатому виду
(с выброшенными нулевыми строками), затем выберем (и запишем
в матрицу B
3
) базис в подпространстве W
3
, продолжающий базис в
W
1
(содержащийся в матрице B
1
):
G
3
6×5
= (B
1
|B
2
) =
−1 1 1
1 1 1
−1 1 1
−1 −1 0
−1 −3 −1
1 −1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2 1
0 0
−1 0
0 0
1 0
0 1
→
→ ... →
−1 1 1
0 2 2
0 0 1
0 0 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2 1
−2 1
0 0
1 −1
;
§ 11   Задачи на построение базисов в подпространствах          127

   2. Приступаем к работе с подпространством W2 . В соответствии
с алгоритмом 10.1, приведем матрицу H к виду Жордана — Гаус-
са (который можно будет рассматривать как искомую матрицу A2 ,
определяющую W2 опять же первым способом, но — экономно):
                                               
                         1    0   0   0    2 −1
                       0     1   0   0    0 0 
             H → ... →                          = A2 .
            5×6          0    0   1   0    1 0      4×6
                         0    0   0   1    0 0

  Выписывая и решая однородную с.л.у. A2 · x = 0, мы найдем фун-
даментальную матрицу этой системы, которую сразу обозначим B2 ,
поскольку она будет содержать базис для W2 :
                                           
                                 −2       1
                                0        0
                                           
                                −1       0
                          B2 =             .
                          6×2   0        0
                                           
                                 1        0
                                 0        1

   Вносим в сводку ответов размерность d2 = dim(W2 ) = 2, а также
коразмерность c2 = codim(W2 ) = 4 второго подпространства.
   3. Займемся подпространством W3 , представляющим из себя сум-
му двух данных подпространств. Следуя алгоритму 10.5, составим
конкатенацию G3 матриц B1 и B2 , приведем ее к ступенчатому виду
(с выброшенными нулевыми строками), затем выберем (и запишем
в матрицу B3 ) базис в подпространстве W3 , продолжающий базис в
W1 (содержащийся в матрице B1 ):
                               ¯          
                     −1   1  1 ¯ −2      1
                                ¯
                    1    1   1 ¯ 0      0
                               ¯          
                    −1   1  1 ¯ −1      0
  G3 = (B1 |B2 ) =             ¯          →
  6×5               −1   −1 0 ¯ 0       0
                               ¯          
                     −1   −3 −1 ¯ 1      0
                                ¯
                     1    −1 −1 0        1
                                                     ¯         
                                            −1    1 1 ¯ −2   1
                                                      ¯
                                           0     2 2 ¯ −2   1 
                                  → ... →            ¯         ;
                                             0    0 1 ¯ 0    0
                                                      ¯
                                             0    0 0 1      −1

Страницы