Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

126 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Найдем (экономное) задание W
1
первым способом. Для этого,
следуя алгоритму 10.3, приведем к виду Жордана — Гаусса транс-
понированную матрицу B
t
1
:
B
t
1
3×6
→ ... →
1 0 1 0 −1 −1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 2 0
.
По полученной матрице составляем однородную с.л.у.
α
1
+α
3
−α
5
−α
6
= 0;
α
2
= 0;
α
4
+2α
5
= 0.
Решая эту систему [относительно неизвестных α
j
(j = 1, ..., 6) —
элементов строки искомой матрицы A
1
], находим фундаментальную
матрицу
F
1
6×3
=
−1 1 1
0 0 0
1 0 0
0 −2 0
0 1 0
0 0 1
,
транспонируя которую мы получаем
A
1
3×6
= F
t
1
=
−1 0 1 0 0 0
1 0 0 −2 1 0
1 0 0 0 0 1
.
Линейное пространство W
1
является ядром (нуль-пространством)
матрицы A
1
(которая имеет полный ранг по строкам). Так что полу-
чается экономное представление первым способом: W
1
= L
A
1
. Иначе
говоря, W
1
является подпространством решений однородной с.л.у.
A
1
· x = 0, количество уравнений в которой равно коразмерности
c
1
= codim(W
1
) = n − d
1
= 3.
И, наконец, представим последнюю систему в подробной коорди-
натной записи:
−x
1
+x
3
= 0;
x
1
−2x
4
+x
5
= 0;
x
1
+x
6
= 0.
126    Линейные пространства. Базисы и размерности          Гл. 1

  Найдем (экономное) задание W1 первым способом. Для этого,
следуя алгоритму 10.3, приведем к виду Жордана — Гаусса транс-
понированную матрицу B1t :
                                             
                           1 0    1 0   −1 −1
              B1 → ... →  0 1
                t
                                  0 0   0   0 .
              3×6          0 0    0 1   2   0

  По полученной матрице составляем однородную с.л.у.
            
             α1      +α3        −α5 −α6 = 0;
                  α2                        = 0;
            
                            α4 +2α5         = 0.

  Решая эту систему [относительно неизвестных αj (j = 1, ..., 6) —
элементов строки искомой матрицы A1 ], находим фундаментальную
матрицу
                                       
                             −1 1 1
                            0    0 0
                                       
                            1    0 0
                     F1 =              ,
                     6×3    0 −2 0 
                                       
                              0   1 0
                              0   0 1
транспонируя которую мы получаем
                                              
                           −1 0 1 0 0 0
              A1 = F1t =  1 0 0 −2 1 0  .
              3×6
                           1 0 0 0 0 1

   Линейное пространство W1 является ядром (нуль-пространством)
матрицы A1 (которая имеет полный ранг по строкам). Так что полу-
чается экономное представление первым способом: W1 = LA1 . Иначе
говоря, W1 является подпространством решений однородной с.л.у.
A1 · x = 0, количество уравнений в которой равно коразмерности
c1 = codim(W1 ) = n − d1 = 3.
   И, наконец, представим последнюю систему в подробной коорди-
натной записи:
             
              −x1      +x3                   = 0;
                 x            −2x4 +x5        = 0;
              1
                 x1                      +x6 = 0.

Страницы