Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 218 стр.

218     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                Гл. 3

  > F1 := < ev[1][3][1] | ev[1][3][2] >; F2 := < ev[2][3][1] >;
   Поясним, во-первых, что в командах выше используются shortcuts
(обозначения, содержащие угловые и вертикальные ограничители;
см. п. 7.4).
   Во-вторых, расшифруем выражение ev[1][3][1]: в списке ev берет-
ся первый элемент — тоже список, в нем выбирается третий эле-
мент — множество, из которого извлекается его первый элемент —
вектор-столбец. Аналогично понимаются все подобные выражения.
Не упустите такое обстоятельство: даже в множестве, состоящем
из одного единственного элемента, этот элемент следует "выбирать"
(как первый).



      § 19. Свойства собственных подпространств

  19.1. Подпространства, инвариантные относительно л.э.
Введем одно из важнейших понятий теории линейных эндоморфиз-
мов (операторов).
  Определение 19.1. Линейное подпространство W 6 V в ли-
нейном пространстве V называется инвариантным относительно
линейного оператора ϕ ∈ L(V ) (или: ϕ-инвариантным), если

                              ϕ(W ) ⊆ W,                          (19.1)

т. е. если это подпространство переходит в себя под действием эндо-
морфизма ϕ.
   Всякий линейный оператор ϕ : V → V можно сузить (ограничить)
на любое подпространство W 6 V . При этом возникает
                                                  ¯ новый опе-
ратор (при W 6= V уже — не эндоморфизм): ϕ = ϕ¯W : W → V.
                                             0

Если W является ϕ-инвариантным, то образ ϕ0 содержится в W и
этот оператор можно рассматривать как л.э.

                 ϕ0 : W −→ W ; ϕ0 (x) = ϕ(x); x ∈ W.              (19.2)

   Тривиальные подпространства W = O и W = V инвариантны
относительно любого л.э.
   Имеется "противоположная крайность": если эндоморфизм явля-
ется скалярным: ϕ = λε (λ ∈ P ), то любое подпространство является
относительно него инвариантным.