Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

220 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Предложение 19.1. 1. Каждое собственное подпространство
W
i
= S
λ
i
(ϕ) является ϕ-инвариантным, причем сужение
ϕ
0
i
= ϕ
¯
¯
W
i
: W
i
−→ W
i
; ϕ
0
i
(x) = ϕ(x); x ∈ W
i
(19.4)
является скалярным оператором:
ϕ
0
i
= λ
i
ε
i
, (19.5)
где ε
i
= ε
W
i
— тождественный эндоморфизм i-го собственного про-
странства; i = 1, ..., s.
2. Кроме того, каждое из подпространств W
i
является (при любом
j = 1, ..., s) ψ
j
-инвариантным, где
ψ
j
= ϕ − λ
j
ε, (19.6)
причем сужение ψ
j
¯
¯
W
i
также является скалярным оператором:
ψ
j
¯
¯
W
i
= (λ
i
− λ
j
)ε
i
; (19.7)
в частности (при j = i) сужение ψ
i
¯
¯
W
i
является нулевым.
Доказательство. 1. Если x ∈ W
i
, то, по определению собствен-
ного подпространства,
ϕ(x) = λ
i
x = (λ
i
ε)(x).
Значит, во-первых, вектор ϕ(x) также принадлежит W
i
, а во-
вторых, в силу произвольности x, справедливо равенство операто-
ров (19.5).
2. Второе утверждение немедленно следует из первого: ограниче-
ние на W
i
оператора ϕ дает λ
i
ε
i
, а ограничение скалярного операто-
ра λ
j
ε — скалярный оператор λ
j
ε
i
. ¤
Замечание 19.2. Факт ϕ-инвариантности ядра N = Ker(ϕ) (см.
пример 19.1) можно считать частным случаем первого утверждения
предложения 19.1. В самом деле, ядро линейного оператора являет-
ся (в случае своей нетривиальности) не чем иным, как собственным
подпространством S
0
(ϕ).
220    Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

  Предложение 19.1. 1. Каждое собственное подпространство
Wi = Sλi (ϕ) является ϕ-инвариантным, причем сужение
                  ¯
           ϕ0i = ϕ¯Wi : Wi −→ Wi ; ϕ0i (x) = ϕ(x); x ∈ Wi     (19.4)

является скалярным оператором:

                             ϕ0i = λi εi ,                    (19.5)

где εi = εWi — тождественный эндоморфизм i-го собственного про-
странства; i = 1, ..., s.
   2. Кроме того, каждое из подпространств Wi является (при любом
j = 1, ..., s) ψj -инвариантным, где

                           ψj = ϕ − λj ε,                     (19.6)
                  ¯
причем сужение ψj ¯Wi также является скалярным оператором:
                           ¯
                        ψj ¯Wi = (λi − λj )εi ;               (19.7)
                                   ¯
в частности (при j = i) сужение ψi ¯W является нулевым.
                                        i


  Доказательство. 1. Если x ∈ Wi , то, по определению собствен-
ного подпространства,

                       ϕ(x) = λi x = (λi ε)(x).

  Значит, во-первых, вектор ϕ(x) также принадлежит Wi , а во-
вторых, в силу произвольности x, справедливо равенство операто-
ров (19.5).
  2. Второе утверждение немедленно следует из первого: ограниче-
ние на Wi оператора ϕ дает λi εi , а ограничение скалярного операто-
ра λj ε — скалярный оператор λj εi . ¤
   Замечание 19.2. Факт ϕ-инвариантности ядра N = Ker(ϕ) (см.
пример 19.1) можно считать частным случаем первого утверждения
предложения 19.1. В самом деле, ядро линейного оператора являет-
ся (в случае своей нетривиальности) не чем иным, как собственным
подпространством S0 (ϕ).

Страницы