Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 221 стр.

§ 19         Свойства собственных подпространств               221

  Определение 19.2. Сумму всех собственных подпространств
для л.э. ϕ, т. е. линейное подпространство
                                  s
                                  X
                             0
                           W =          Wi ,                  (19.8)
                                  i=1

будем называть собственной суммой для ϕ и обозначать S(ϕ).
  (В случае пустоты спектра л.э., т. е. при s = 0, собственная сумма
считается нулевым подпространством.)
   Из предложения 19.1 и замечания 19.1 немедленно следует

   Предложение 19.2. Собственная сумма
                                  s
                                  X
                         S(ϕ) =         Sλi (ϕ)               (19.9)
                                  i=1

является ϕ-инвариантным подпространством. ¤
   Замечание 19.3. Подпространство S(ϕ) содержит все собствен-
ные векторы для л.э. ϕ. Однако, вообще говоря, не все его векторы
являются собственными.
   С этим связана известная "задачка-ловилка" для студентов: "Вер-
но ли утверждение, что сумма двух собственных векторов для ли-
нейного оператора снова является собственным вектором для этого
оператора?"
   Простодушные студенты не замечают того, что им не уточнили,
одному и тому же или разным собственным значениям отвечают
данные собственные векторы, и заявляют примерно так: "Да, по-
скольку собственные векторы образуют подпространство."
   Однако сумма двух собственных векторов, отвечающих различ-
ным собственным значениям, никогда не будет собственным век-
тором. (Убедитесь в этом самостоятельно, с помощью предложе-
ния 19.3, которое мы чуть ниже докажем.)
   Более того, приведенное выше "студенческое" утверждение ложно
даже в том случае, когда рассматриваются собственные векторы,
отвечающие одному и тому же собственному значению. Дело в том,
что сумма двух таких векторов может оказаться нулевым вектором,
который, по определению, не считается собственным.
   Правильный ответ: сумма двух собственных векторов будет соб-
ственным вектором тогда и только тогда, когда они отвечают одному
и тому же собственному значению и не противоположны.