Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 19 Свойства собственных подпространств 223
Применим к обеим частям равенства (19.12) оператор ϕ, восполь-
зуемся его линейностью, а также определением собственных векто-
ров:
ϕ(a
j
) = λ
j
a
j
; j = 1, ... , k + 1. (19.13)
Получим:
λ
k +1
a
k+1
= µ
1
λ
1
a
1
+ µ
2
λ
2
a
2
+ ... + µ
k
λ
k
a
k
, (19.14)
или, после подстановки в левую часть (19.14) выражения (19.12) для
вектора a
k+1
:
λ
k+1
(µ
1
a
1
+µ
2
a
2
+...+µ
k
a
k
) = µ
1
λ
1
a
1
+µ
2
λ
2
a
2
+...+µ
k
λ
k
a
k
. (19.14
0
)
Перенося в равенстве (19.14
0
) все слагаемые в левую часть и груп-
пируя их (с использованием аксиом линейного пространства), мы
придем к следующему соотношению:
µ
1
(λ
k+1
−λ
1
)a
1
+ µ
2
(λ
k+1
−λ
2
)a
2
+ ... + µ
k
(λ
k +1
−λ
k
)a
k
= 0. (19.15)
Равенство (19.15) представляет некоторую линейную комбинацию
для с.в. A, значение которой равно нулю. В силу линейной незави-
симости системы A, все коэффициенты этой линейной комбинации
должны равняться нулю:
µ
j
(λ
k+1
− λ
j
) = 0; j = 1, ..., k. (19.16)
Однако разности λ
k+1
− λ
j
(j = 1, ..., k) в формулах (19.16) от-
личны от нуля, т. к., по предположению, все собственные значения
попарно различны. Значит, обращаются в нуль все коэффициенты
µ
j
(j = 1, ..., k).
Возвращаясь к выражению (19.12), получаем, что a
k+1
= 0. А это
уже противоречие: собственный вектор не может быть нулевым.
Убеждаемся в ошибочности предположения о линейной зависимо-
сти с.в. A
0
. Следовательно, эта система линейно независима; шаг
индукции успешно завершен; предложение доказано. ¤
Теперь мы в состоянии доказать "прямизну" собственной сум-
мы (19.9).
§ 19           Свойства собственных подпространств                        223

   Применим к обеим частям равенства (19.12) оператор ϕ, восполь-
зуемся его линейностью, а также определением собственных векто-
ров:
                  ϕ(aj ) = λj aj ; j = 1, ... , k + 1.     (19.13)

   Получим:

          λk+1 ak+1 = µ1 λ1 a1 + µ2 λ2 a2 + ... + µk λk ak ,           (19.14)

или, после подстановки в левую часть (19.14) выражения (19.12) для
вектора ak+1 :

 λk+1 (µ1 a1 +µ2 a2 +...+µk ak ) = µ1 λ1 a1 +µ2 λ2 a2 +...+µk λk ak . (19.140 )

  Перенося в равенстве (19.140 ) все слагаемые в левую часть и груп-
пируя их (с использованием аксиом линейного пространства), мы
придем к следующему соотношению:

 µ1 (λk+1 − λ1 )a1 + µ2 (λk+1 − λ2 )a2 + ... + µk (λk+1 − λk )ak = 0. (19.15)

  Равенство (19.15) представляет некоторую линейную комбинацию
для с.в. A, значение которой равно нулю. В силу линейной незави-
симости системы A, все коэффициенты этой линейной комбинации
должны равняться нулю:

                      µj (λk+1 − λj ) = 0; j = 1, ..., k.              (19.16)

   Однако разности λk+1 − λj (j = 1, ..., k) в формулах (19.16) от-
личны от нуля, т. к., по предположению, все собственные значения
попарно различны. Значит, обращаются в нуль все коэффициенты
µj (j = 1, ..., k).
   Возвращаясь к выражению (19.12), получаем, что ak+1 = 0. А это
уже противоречие: собственный вектор не может быть нулевым.
Убеждаемся в ошибочности предположения о линейной зависимо-
сти с.в. A0 . Следовательно, эта система линейно независима; шаг
индукции успешно завершен; предложение доказано. ¤
  Теперь мы в состоянии доказать "прямизну" собственной сум-
мы (19.9).

Страницы