Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 224 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

224 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Теорема 19.1. 1. Собственные подпространства W
i
= S
λ
i
(ϕ)
(i = 1, ..., s) для линейного эндоморфизма ϕ, действующего в конеч-
номерном пространстве V, независимы в совокупности.
2. Собственная сумма является прямой:
S(ϕ) =
s
M
i=1
S
λ
i
(ϕ). (19.17)
3. В подпространстве W
0
= S(ϕ) можно выбрать базис вида
B
0
= [ B
1
, B
2
, ... , B
s
], (19.18)
где все B
i
(i = 1, ..., s) являются базисами в соответствующих соб-
ственных подпространствах W
i
.
4. Размерность подпространства (19.17) равняется сумме n
0
гео-
метрических кратностей всех собственных значений:
dim(W
0
) = n
0
=
s
X
i=1
n
i
. (19.19)
Доказательство. 1. Докажем что собственные подпространства
W
i
= S
λ
i
(ϕ) независимы в совокупности (см. определение 9.2), т. е.
установим тривиальность всех пересечений:
W
j
∩
c
W
j
= O; j = 1, ..., s, (19.20)
где
c
W
j
=
s
X
i=1
i6=j
W
i
. (19.21)
Предположим, что существует ненулевой вектор x, принадежа-
щий пересечению W
j
∩
c
W
j
. Тогда имеет место равенство
x =
s
X
i=1
i6=j
y
i
, (19.22)
где x ∈ W
j
; y
i
∈ W
i
(i = 1, ... , s; i 6= j).
224      Спектральная теория линейных эндоморфизмов                  Гл. 3

   Теорема 19.1. 1. Собственные подпространства Wi = Sλi (ϕ)
(i = 1, ..., s) для линейного эндоморфизма ϕ, действующего в конеч-
номерном пространстве V, независимы в совокупности.
   2. Собственная сумма является прямой:
                                       s
                                       M
                             S(ϕ) =             Sλi (ϕ).            (19.17)
                                        i=1


   3. В подпространстве W 0 = S(ϕ) можно выбрать базис вида

                            B0 = [ B1 , B2 , ... , Bs ],            (19.18)

где все Bi (i = 1, ..., s) являются базисами в соответствующих соб-
ственных подпространствах Wi .
   4. Размерность подпространства (19.17) равняется сумме n0 гео-
метрических кратностей всех собственных значений:
                                                   s
                                                   X
                                   0        0
                           dim(W ) = n =                     ni .   (19.19)
                                                       i=1



   Доказательство. 1. Докажем что собственные подпространства
Wi = Sλi (ϕ) независимы в совокупности (см. определение 9.2), т. е.
установим тривиальность всех пересечений:

                              cj = O; j = 1, ..., s,
                         Wj ∩ W                                     (19.20)

где
                                         s
                                         X
                                cj =
                                W                Wi .               (19.21)
                                         i=1
                                         i6=j

  Предположим, что существует ненулевой вектор x, принадежа-
                     cj . Тогда имеет место равенство
щий пересечению Wj ∩ W
                                        s
                                        X
                                  x=            yi ,                (19.22)
                                        i=1
                                        i6=j


где x ∈ Wj ; yi ∈ Wi (i = 1, ... , s; i 6= j).

Страницы