Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

222 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
19.3. Независимость в совокупности собственных подпро-
странств л.э. В данном пункте мы докажем, что собственная сумма
для л.э. является на самом деле прямой. (Разумеется, нужно исклю-
чить случай пустого спектра. Случай одноточечного спектра также
является бессодержательным, хотя, конечно, никто не мешает нам
считать прямой "сумму", содержащую одно слагаемое.)
Предварительно нам придется доказать вспомогательное (но важ-
ное и само по себе)
Предложение 19.3. Конечная система
A = [ a
1
, a
2
, ... , a
k
], (19.10)
составленная из собственных векторов a
j
(j = 1, ..., k) для л.э. ϕ, от-
вечающих попарно различным собственным значениям λ
j
, линейно
независима.
Доказательство проведем индукцией по количеству k векторов в
с.в. (19.10).
При k = 1 эта система состоит из одного вектора: A = [a
1
], при-
чем — ненулевого (в силу определения собственного вектора). Сле-
довательно, в этом случае с.в. A линейно независима.
Предположим теперь, что утверждение предложения справедливо
для любой с.в., содержащей k собственных векторов, отвечающих
k попарно различным собственным значениям, и докажем его для
произвольной системы
A
0
= [ a
1
, a
2
, ... , a
k
, a
k+1
]; a
j
∈ S
λ
j
(ϕ), (19.11)
из k + 1 собственного вектора, где снова все собственные значения
λ
j
∈ σ(ϕ) (j = 1, ... , k + 1) попарно различны.
Предположим, что система (19.11) линейно зависима, и учтем тот
факт, что ее подсистема A, составленная из первых k векторов и име-
ющая вид (19.10), будет, в силу предположения индукции, линейно
независимой.
Из этого, при посредстве предложения 3.1, следует, что вектор
a
k +1
, последний из входящих в A
0
, линейно выражается через A,
т. е. найдутся скаляры µ
j
∈ P (j = 1, ... , k) такие, что
a
k+1
= µ
1
a
1
+ µ
2
a
2
+ ... + µ
k
a
k
. (19.12)
222     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                  Гл. 3

  19.3. Независимость в совокупности собственных подпро-
странств л.э. В данном пункте мы докажем, что собственная сумма
для л.э. является на самом деле прямой. (Разумеется, нужно исклю-
чить случай пустого спектра. Случай одноточечного спектра также
является бессодержательным, хотя, конечно, никто не мешает нам
считать прямой "сумму", содержащую одно слагаемое.)
  Предварительно нам придется доказать вспомогательное (но важ-
ное и само по себе)

  Предложение 19.3. Конечная система

                           A = [ a1 , a2 , ... , ak ],             (19.10)

составленная из собственных векторов aj (j = 1, ..., k) для л.э. ϕ, от-
вечающих попарно различным собственным значениям λj , линейно
независима.

   Доказательство проведем индукцией по количеству k векторов в
с.в. (19.10).
   При k = 1 эта система состоит из одного вектора: A = [a1 ], при-
чем — ненулевого (в силу определения собственного вектора). Сле-
довательно, в этом случае с.в. A линейно независима.
   Предположим теперь, что утверждение предложения справедливо
для любой с.в., содержащей k собственных векторов, отвечающих
k попарно различным собственным значениям, и докажем его для
произвольной системы

               A0 = [ a1 , a2 , ... , ak , ak+1 ]; aj ∈ Sλj (ϕ),   (19.11)

из k + 1 собственного вектора, где снова все собственные значения
λj ∈ σ(ϕ) (j = 1, ... , k + 1) попарно различны.
   Предположим, что система (19.11) линейно зависима, и учтем тот
факт, что ее подсистема A, составленная из первых k векторов и име-
ющая вид (19.10), будет, в силу предположения индукции, линейно
независимой.
   Из этого, при посредстве предложения 3.1, следует, что вектор
ak+1 , последний из входящих в A0 , линейно выражается через A,
т. е. найдутся скаляры µj ∈ P (j = 1, ... , k) такие, что

                   ak+1 = µ1 a1 + µ2 a2 + ... + µk ak .            (19.12)

Страницы