Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 20 Линейные эндоморфизмы в прямой сумме 225
Среди векторов-слагаемых в правой части (19.22) обязательно су-
ществуют ненулевые (иначе нулевым был бы вектор x). Оставим в
сумме только их и новую сумму (без нулевых слагаемых) пометим
штрихом:
x =
s
X
i=1
i6=j
0
y
i
. (19.22
0
)
Последняя формула представляет собой линейное соотношение
для системы векторов, составленной из вектора x и тех y
i
, кото-
рые отличны от нуля. Следовательно, указанная с.в. будет линейно
зависимой.
Между тем она составлена из собственных векторов для л.э. ϕ,
отвечающих попарно различным собственным значениям. Получи-
лось противоречие с результатом предыдущего предложения. Зна-
чит, предположение о нетривиальности какого-либо из пересечений
(19.20) ошибочно, и первое утверждение теоремы доказано.
2. Второе утверждение немедленно вытекает из первого в силу
"критерия прямизны" (см. предложение 9.1).
3. Напомним (см. замечание 9.3) термин: базис, приспособленный
к прямой сумме. О существовании именно такого базиса говорится
в третьем утверждении теоремы. Оно справедливо в силу предло-
жения 9.2.
4. Четвертое утверждение вытекает из третьего (и, в свою оче-
редь, влечет неравенство n
0
6 n). ¤
§
§
§ 20. Линейные эндоморфизмы в прямой сумме
и их матрицы
20.1. Операторы вложения и проектирования в полной
прямой сумме и их матрицы. Данный параграф не относится
непосредственно к спектральной теории линейных эндоморфизмов.
Мы систематизируем в нем (уже неоднократно "всплывавший") ма-
териал, относящийся к линейным операторам, которые действуют
в линейном пространстве, разбитом в (полную) прямую сумму ли-
нейных подпространств. Если в таком пространстве выбрать при-
способленный к указанному разбиению базис, то всякому л.э. будет
соответствовать (квадратная) матрица, имеющая особое — блочное
(или клеточное) — строение.
§ 20       Линейные эндоморфизмы в прямой сумме               225

  Среди векторов-слагаемых в правой части (19.22) обязательно су-
ществуют ненулевые (иначе нулевым был бы вектор x). Оставим в
сумме только их и новую сумму (без нулевых слагаемых) пометим
штрихом:
                              Xs
                                 0
                          x=       yi .                   (19.220 )
                                i=1
                                i6=j

   Последняя формула представляет собой линейное соотношение
для системы векторов, составленной из вектора x и тех yi , кото-
рые отличны от нуля. Следовательно, указанная с.в. будет линейно
зависимой.
   Между тем она составлена из собственных векторов для л.э. ϕ,
отвечающих попарно различным собственным значениям. Получи-
лось противоречие с результатом предыдущего предложения. Зна-
чит, предположение о нетривиальности какого-либо из пересечений
(19.20) ошибочно, и первое утверждение теоремы доказано.
   2. Второе утверждение немедленно вытекает из первого в силу
"критерия прямизны" (см. предложение 9.1).
   3. Напомним (см. замечание 9.3) термин: базис, приспособленный
к прямой сумме. О существовании именно такого базиса говорится
в третьем утверждении теоремы. Оно справедливо в силу предло-
жения 9.2.
   4. Четвертое утверждение вытекает из третьего (и, в свою оче-
редь, влечет неравенство n0 6 n). ¤



 § 20. Линейные эндоморфизмы в прямой сумме
                        и их матрицы
   20.1. Операторы вложения и проектирования в полной
прямой сумме и их матрицы. Данный параграф не относится
непосредственно к спектральной теории линейных эндоморфизмов.
Мы систематизируем в нем (уже неоднократно "всплывавший") ма-
териал, относящийся к линейным операторам, которые действуют
в линейном пространстве, разбитом в (полную) прямую сумму ли-
нейных подпространств. Если в таком пространстве выбрать при-
способленный к указанному разбиению базис, то всякому л.э. будет
соответствовать (квадратная) матрица, имеющая особое — блочное
(или клеточное) — строение.

Страницы