Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

226 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Блочные матрицы (не обязательно квадратные) нам встречались,
начиная с § 5 пособия [A
1
]; см. также п. 27.1 этого пособия, в кото-
ром доказывалась теорема об определителе квадратной, блочно тре-
угольной матрицы. Кроме того, вы можете припомнить материал
примера 12.3 из настоящего пособия. Ясно, что блочные матрицы
очень важны и удобны в вычислениях. Нам предстоит подробно
разобраться в том, как и почему они возникают, какой операторный
смысл имеют.
Первый пункт параграфа фактически будет продолжением п. 9.3,
в котором были введены в рассмотрение операторы вложения пря-
мых слагаемых в сумму и операторы проектирования суммы на пря-
мые слагаемые. Мы разберемся с этими операторами более деталь-
но, вычислим соответствующие им матрицы (в предположении, что
прямая сумма наделяется приспособленным базисом).
Итак, пусть n-мерное линейное пространство V (над полем P )
разбито в прямую сумму
V =
s
M
i=1
W
i
(20.1)
линейных подпространств W
i
6 V [ dim(W
i
) = n
i
;
P
s
i=1
n
i
= n ].
Рассмотрим порождаемые разложением (20.1) операторы вложе-
ния [см. (9.36)]
α
i
: W
i
−→ V ; α
i
(y
i
) = y
i
; y
i
∈ W
i
(i = 1, ... , s), (20.2)
а также [см. (9.37)] — операторы проектирования
π
i
: V −→ W
i
; π
i
(x) = y
i
; x =
s
X
i=1
y
i
∈ V (i = 1, ... , s). (20.3)
Напомним соотношения между этими операторами [см. формулы
(9.38) и (9.40)]:
π
i
◦ α
i
= ε
i
; (20.4)
π
i
◦ α
j
= o (i 6= j), (20.5)
где i, j = 1, ... , s; o — нулевые операторы, а ε
i
— тождественные
(в подпространствах с соответствующими номерами).
Будут использваться также эндоморфизмы проектирования [или,
как они короче именуются, проекторы; см.(9.39)]
ρ
i
= α
i
◦ π
i
: V −→ V ; i = 1, ... s, (20.6)
226      Спектральная теория линейных эндоморфизмов                       Гл. 3

   Блочные матрицы (не обязательно квадратные) нам встречались,
начиная с § 5 пособия [A1 ]; см. также п. 27.1 этого пособия, в кото-
ром доказывалась теорема об определителе квадратной, блочно тре-
угольной матрицы. Кроме того, вы можете припомнить материал
примера 12.3 из настоящего пособия. Ясно, что блочные матрицы
очень важны и удобны в вычислениях. Нам предстоит подробно
разобраться в том, как и почему они возникают, какой операторный
смысл имеют.
   Первый пункт параграфа фактически будет продолжением п. 9.3,
в котором были введены в рассмотрение операторы вложения пря-
мых слагаемых в сумму и операторы проектирования суммы на пря-
мые слагаемые. Мы разберемся с этими операторами более деталь-
но, вычислим соответствующие им матрицы (в предположении, что
прямая сумма наделяется приспособленным базисом).
   Итак, пусть n-мерное линейное пространство V (над полем P )
разбито в прямую сумму
                                       s
                                       M
                                 V =         Wi                           (20.1)
                                       i=1
                                                Ps
линейных подпространств Wi 6 V [ dim(Wi ) = ni ; i=1 ni = n ].
  Рассмотрим порождаемые разложением (20.1) операторы вложе-
ния [см. (9.36)]

         αi : Wi −→ V ; αi (yi ) = yi ; yi ∈ Wi (i = 1, ... , s),         (20.2)

а также [см. (9.37)] — операторы проектирования
                                         s
                                         X
      πi : V −→ Wi ; πi (x) = yi ; x =         yi ∈ V (i = 1, ... , s).   (20.3)
                                         i=1

   Напомним соотношения между этими операторами [см. формулы
(9.38) и (9.40)]:
                         πi ◦ αi = εi ;                 (20.4)
                             πi ◦ αj = o (i 6= j),                        (20.5)
где i, j = 1, ... , s; o — нулевые операторы, а εi — тождественные
(в подпространствах с соответствующими номерами).
   Будут использваться также эндоморфизмы проектирования [или,
как они короче именуются, проекторы; см.(9.39)]

                     ρi = αi ◦ πi : V −→ V ; i = 1, ... s,                (20.6)

Страницы