Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

228 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Π
i
n
i
×n
=
³
O
n
i
×n
1
. . . E
n
i
×n
i
. . . O
n
i
×n
s
´
. (20.11)
Матрица P
i
проектора ρ
i
находится либо непосредственно, либо —
как произведение:
P
i
n×n
= E
i
n×n
i
· Π
i
n
i
×n
=
O
n
1
×n
1
. . . O
n
1
×n
i
. . . O
n
1
×n
s
. . . . . . . . . . . . . . .
O
n
i
×n
1
. . . E
n
i
×n
i
. . . O
n
i
×n
s
. . . . . . . . . . . . . . .
O
n
s
×n
1
. . . O
n
s
×n
i
. . . O
n
s
×n
s
. (20.12)
Разумеется, свойства (20.4), (20.5), (20.7) операторов (20.2), (20.3),
(20.6) находят свое матричное выражение. [Например, последнее из
свойств (20.7) проявляется в том, что сумма всех матриц P
i
равня-
ется единичной (n ×n)-матрице.]
20.2. Полные прямые суммы и фильтрации. Сумму линей-
ных подпространств (20.1) можно "собирать постепенно", формируя
частичные суммы
W
0q
= O; W
iq
= W
1
⊕ W
2
⊕ ··· ⊕ W
i
; i = 1, ..., s. (20.13)
Частичные суммы (20.13) образуют строго возрастающую (если,
конечно, среди слагаемых нет нулевых) последовательность подпро-
странств
O = W
0q
< W
1q
< W
2q
< ... < W
sq
= V, (20.14)
которую принято называть фильтрацией или флагом.
Обратно, по всякой фильтрации
O = Y
0
< Y
1
< Y
2
< ... < Y
s−1
< Y
s
= V, (20.15)
можно (хотя и не однозначно) построить прямую сумму вида (20.1)
такую, что W
iq
= Y
i
(i = 1, ... , s), если положить W
1
= Y
1
и для
любого i (1 < i 6 s) взять в качестве W
i
(произвольное) прямое
дополнение к Y
i−1
в Y
i
.
В фильтрации (20.14) размерностями подпространств W
iq
будут
кумулятивные (накапливаемые) размерности
n
iq
= n
1
+ n
2
+ ... + n
i
; i = 1, ... , s. (20.16)
228     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                              Гл. 3

                            ³                                          ´
                 Πi     =         O      ...    E       ...     O          .   (20.11)
                                ni ×n1         ni ×ni         ni ×ns
                ni ×n

  Матрица Pi проектора ρi находится либо непосредственно, либо —
как произведение:
                                                      
                          O    ...    O ...        O
                      n1 ×n1       n1 ×ni     n1 ×ns
                                                       
                      ... ... ... ... ... 
                                                      
                                                      
                      O                           O 
      Pi = Ei · Πi =  ni ×n1 . . . niE
                                      ×n
                                           ...
                                               n   ×ns  . (20.12)
     n×n  n×ni ni ×n                    i       i     
                                                      
                      ... ... ... ... ... 
                                                      
                          O    ...    O ...        O
                                   ns ×n1         ns ×ni         ns ×ns

   Разумеется, свойства (20.4), (20.5), (20.7) операторов (20.2), (20.3),
(20.6) находят свое матричное выражение. [Например, последнее из
свойств (20.7) проявляется в том, что сумма всех матриц Pi равня-
ется единичной (n × n)-матрице.]
  20.2. Полные прямые суммы и фильтрации. Сумму линей-
ных подпространств (20.1) можно "собирать постепенно", формируя
частичные суммы

       W0q = O; Wqi = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wi ; i = 1, ..., s.                    (20.13)

  Частичные суммы (20.13) образуют строго возрастающую (если,
конечно, среди слагаемых нет нулевых) последовательность подпро-
странств
               O = W0q < W1q < W2q < ... < Wsq = V,       (20.14)
которую принято называть фильтрацией или флагом.
  Обратно, по всякой фильтрации

               O = Y0 < Y1 < Y2 < ... < Ys−1 < Ys = V,                         (20.15)

можно (хотя и не однозначно) построить прямую сумму вида (20.1)
такую, что Wqi = Yi (i = 1, ... , s), если положить W1 = Y1 и для
любого i (1 < i 6 s) взять в качестве Wi (произвольное) прямое
дополнение к Yi−1 в Yi .
  В фильтрации (20.14) размерностями подпространств Wqi будут
кумулятивные (накапливаемые) размерности

                  nqi = n1 + n2 + ... + ni ; i = 1, ... , s.                   (20.16)

Страницы