Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 229 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 20 Линейные эндоморфизмы в прямой сумме 229
Попробуйте обосновать следующее простое утверждение: сумма
эндоморфизмов проектирования
ρ
iq
= ρ
1
+ ρ
2
+ ... + ρ
i
является проектором на подпространство W
iq
.
20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сум-
ме, и ее блочное строение. Рассмотрим л.э.
ϕ : V −→ V (20.17)
полной прямой суммы (20.1) в себя. Его можно сузить на любое из
прямых слагаемых W
j
(j = 1, ... , s). Получатся линейные операторы
(гомоморфизмы)
ϕ
j
= ϕ
¯
¯
W
j
= ϕ ◦ α
j
: W
j
−→ V ; ϕ
j
(x) = ϕ(x); x ∈ W
j
. (20.18)
(Обратите внимание на то, что сужение оператора на подпро-
странство можно представить как его композицию с оператором вло-
жения для подпространства.)
Далее, для любого i = 1, ... , s можно взять композицию оператора
(20.18) и (применяемого следующим) оператора π
i
; так возникают
операторы
ϕ
ij
= π
i
◦ ϕ
j
= π
i
◦ ϕ ◦ α
j
: W
j
−→ W
i
, (20.19)
действующие по правилу:
ϕ
ij
(x) = π
i
(ϕ(x)); x ∈ W
j
. (20.20)
При i = j оператор ϕ
ii
является эндоморфизмом подпростран-
ства W
i
.
Снова привлечем базисы B
i
в подпространствах-слагаемых и при-
способленный к прямой сумме базис (20.8) и опишем матрицу, отве-
чающую л.э. ϕ.
Предложение 20.1. Пусть операторам ϕ
ij
отвечают (в бази-
сах B
j
и B
i
) матрицы A
ij
(i, j = 1, ..., s). Тогда операторам ϕ
j
будут
соответствовать (в базисах B
j
и B) матрицы
A
j
n×n
j
=
A
1j
n
1
×n
j
A
2j
n
2
×n
j
···
A
sj
n
s
×n
j
, (20.21)
§ 20        Линейные эндоморфизмы в прямой сумме                   229

  Попробуйте обосновать следующее простое утверждение: сумма
эндоморфизмов проектирования
                     ρqi = ρ1 + ρ2 + ... + ρi
является проектором на подпространство Wqi .
  20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сум-
ме, и ее блочное строение. Рассмотрим л.э.
                              ϕ : V −→ V                        (20.17)
полной прямой суммы (20.1) в себя. Его можно сузить на любое из
прямых слагаемых Wj (j = 1, ... , s). Получатся линейные операторы
(гомоморфизмы)
          ¯
    ϕj = ϕ¯W = ϕ ◦ αj : Wj −→ V ; ϕj (x) = ϕ(x); x ∈ Wj .    (20.18)
             j


   (Обратите внимание на то, что сужение оператора на подпро-
странство можно представить как его композицию с оператором вло-
жения для подпространства.)
   Далее, для любого i = 1, ... , s можно взять композицию оператора
(20.18) и (применяемого следующим) оператора πi ; так возникают
операторы
               ϕij = πi ◦ ϕj = πi ◦ ϕ ◦ αj : Wj −→ Wi ,       (20.19)
действующие по правилу:
                      ϕij (x) = πi (ϕ(x)); x ∈ Wj .             (20.20)
   При i = j оператор ϕii является эндоморфизмом подпростран-
ства Wi .
   Снова привлечем базисы Bi в подпространствах-слагаемых и при-
способленный к прямой сумме базис (20.8) и опишем матрицу, отве-
чающую л.э. ϕ.
   Предложение 20.1. Пусть операторам ϕij отвечают (в бази-
сах Bj и Bi ) матрицы Aij (i, j = 1, ..., s). Тогда операторам ϕj будут
соответствовать (в базисах Bj и B) матрицы
                                            
                                       A1j
                                  n1 ×nj 
                                   A2j 
                                            
                           Aj =  
                                     n2 ×nj  ,
                                                                (20.21)
                          n×nj     ··· 
                                            
                                       Asj
                                     ns ×nj

Страницы