Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 227 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 20 Линейные эндоморфизмы в прямой сумме 227
обладающие [см. (9.41) — (9.43)] свойствами:
ρ
2
i
= ρ
i
; ρ
i
◦ ρ
j
= o (i 6= j);
s
X
i=1
ρ
i
= ε. (20.7)
Выберем в каждом из прямых слагаемых W
i
произвольный ба-
зис B
i
. Объединив эти базисы и приняв сквозную нумерацию век-
торов, мы получим [приспособленный к разбиению (20.1)] базис в
пространстве V :
B = [B
1
, B
2
, ... , B
s
] = [b
1
, ..., b
n
1
, b
n
1
+1
, ..., b
n
1
+n
2
, ..., b
n
]. (20.8)
Вектор, занимающий k-ю позицию в базисе B
i
(1 6 k 6 n
i
) будет
иметь сквозной номер
k
0
= n
1
+ ... + n
i−1
+ k (20.9)
в объединенном базисе (20.8).
Определим матрицу оператора вложения (20.2) относительно ба-
зисов B
i
в W
i
и B в V . Образом k-го вектора из базиса B
i
при
вложении α
i
будет этот же самый вектор, но рассматриваемый во
всем пространстве V . Если разложить этот вектор по объединен-
ному базису B, то все координаты будут равны нулю, кроме одной
(равной единице), которая будет иметь "сквозной номер" k
0
, опреде-
ляемый формулой (20.9). Так что получится координатный столбец
e
k
0
∈ P
n
. Приходим к выводу, что оператору α
i
будет соответство-
вать матрица
E
i
n×n
i
=
O
n
1
×n
i
···
E
n
i
×n
i
···
O
n
s
×n
i
. (20.10)
Матрица, отвечающая π
i
(в базисах B и B
i
), должна иметь раз-
меры n
i
×n; векторы базиса B
i
оператором π
i
отображаются сами в
себя; при этом элемент базиса B со сквозным номером k
0
переходит
в элемент B
i
с номером k, что дает единичный вектор e
k
в каче-
стве столбца с номером k
0
в матрице, соответствующей π
i
; осталь-
ные базисные векторы, входящие в B, отображаются в нуль. Таким
образом, оператору π
i
соответствует матрица
§ 20             Линейные эндоморфизмы в прямой сумме                                     227

обладающие [см. (9.41) — (9.43)] свойствами:
                                                                s
                                                                X
                      ρ2i   = ρi ; ρi ◦ ρj = o (i 6= j);              ρi = ε.            (20.7)
                                                                i=1

  Выберем в каждом из прямых слагаемых Wi произвольный ба-
зис Bi . Объединив эти базисы и приняв сквозную нумерацию век-
торов, мы получим [приспособленный к разбиению (20.1)] базис в
пространстве V :

       B = [B1 , B2 , ... , Bs ] = [b1 , ..., bn1 , bn1 +1 , ..., bn1 +n2 , ..., bn ].   (20.8)

  Вектор, занимающий k-ю позицию в базисе Bi (1 6 k 6 ni ) будет
иметь сквозной номер

                                  k 0 = n1 + ... + ni−1 + k                              (20.9)

в объединенном базисе (20.8).
   Определим матрицу оператора вложения (20.2) относительно ба-
зисов Bi в Wi и B в V . Образом k-го вектора из базиса Bi при
вложении αi будет этот же самый вектор, но рассматриваемый во
всем пространстве V . Если разложить этот вектор по объединен-
ному базису B, то все координаты будут равны нулю, кроме одной
(равной единице), которая будет иметь "сквозной номер" k 0 , опреде-
ляемый формулой (20.9). Так что получится координатный столбец
ek0 ∈ P n . Приходим к выводу, что оператору αi будет соответство-
вать матрица
                                       
                                    O
                                  n ×n
                                 1 i
                                 ··· 
                                       
                          Ei =     E .                      (20.10)
                                ni ×ni 
                         n×ni    ··· 
                                       
                                    O
                                                   ns ×ni

   Матрица, отвечающая πi (в базисах B и Bi ), должна иметь раз-
меры ni × n; векторы базиса Bi оператором πi отображаются сами в
себя; при этом элемент базиса B со сквозным номером k 0 переходит
в элемент Bi с номером k, что дает единичный вектор ek в каче-
стве столбца с номером k 0 в матрице, соответствующей πi ; осталь-
ные базисные векторы, входящие в B, отображаются в нуль. Таким
образом, оператору πi соответствует матрица

Страницы