Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

230 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
а исходный л.э. ϕ будет иметь (в базисе B) матрицу
A
n×n
=
A
11
n
1
×n
1
A
12
n
1
×n
2
. . . A
1s
n
1
×n
s
A
21
n
2
×n
1
A
22
n
2
×n
2
. . . A
2s
n
2
×n
s
. . . . . . . . . . . .
A
s1
n
s
×n
1
A
s2
n
s
×n
2
. . . A
ss
n
s
×n
s
. (20.22)
Доказательство. В самом деле, рассмотрим какой-либо вектор
(скажем, k-й) из базиса B
j
. Образ этого вектора при действии опе-
ратора ϕ (или, что равносильно, — оператора ϕ
j
) можно разложить
по базису B, а затем в полученной сумме сгрупировать слагаемые по
их принадлежности подпространствам W
i
. Сумма первых n
1
слагае-
мых является первой проекцией полученного вектора; в этой сумме
скалярные коэффициенты при векторах базиса B
1
образуют (n
1
×1)-
столбец, который (по определению матрицы линейного оператора)
будет k-м столбцом (n
1
× n
j
)-матрицы A
1j
. Аналогично, сумма сле-
дующих n
2
слагаемых в разложении вектора-образа определит k-й
столбец (n
2
× n
j
)-матрицы A
2j
; и т. д.
Соединенные в один, все эти столбцы составят k-й столбец матри-
цы, отвечающей оператору ϕ
j
, которая, таким образом, будет иметь
блочный вид (20.21). Далее, k-й столбец A
j
входит в матрицу для
оператора ϕ под сквозным номером k
0
= n
1
+... +n
j−1
+k [ср. с фор-
мулой (20.9)]. Значит, матрица для ϕ имеет блочный вид (20.22). ¤
Пример 20.1. Давно замечено, что "формулы с многоточиями"
(заменяющими оборот "и т. д.") вызывают у многих первокурсников
(вспомним английское "freshmen") страх и недоумение. Попробуем
объяснить идею блочной структуры матриц, не употребляя много-
точий (но и без комментариев), на небольшом примере.
ϕ : V −→ V ; V = V
1
⊕ V
2
⊕ V
3
; n = 6; n
1
= 3, n
2
= 1, n
3
= 2;
B = [B
1
, B
2
, B
3
]; B
1
= [b
1
, b
2
, b
3
]; B
2
= [b
4
]; B
3
= [b
5
, b
6
];
ϕ(b
1
)=ϕ
1
(b
1
)=ϕ
11
(b
1
)+ϕ
21
(b
1
)+ϕ
31
(b
1
)=(a
11
b
1
+a
21
b
2
+a
31
b
3
)+a
41
b
4
+(a
51
b
5
+a
61
b
6
);
ϕ(b
2
)=ϕ
1
(b
2
)=ϕ
11
(b
2
)+ϕ
21
(b
2
)+ϕ
31
(b
2
)=(a
12
b
1
+a
22
b
2
+a
32
b
3
)+a
42
b
4
+(a
52
b
5
+a
62
b
6
);
ϕ(b
3
)=ϕ
1
(b
3
)=ϕ
11
(b
3
)+ϕ
21
(b
3
)+ϕ
31
(b
3
)=(a
13
b
1
+a
23
b
2
+a
33
b
3
)+a
43
b
4
+(a
53
b
5
+a
63
b
6
);
230       Спектральная теория линейных эндоморфизмов                                     Гл. 3

а исходный л.э. ϕ будет иметь (в базисе B) матрицу
                                                
                         A11    A12 . . . A1s
                       n1 ×n1 n1 ×n2     n1 ×ns
                                                 
                                                
                       A21     A22 . . . A2s 
                                         n2 ×ns 
                 A =  n2 ×n1 n2 ×n2             .                                     (20.22)
                n×n    ...     ... ... ... 
                                                
                                                
                         As1    As2 . . . Ass
                                   ns ×n1    ns ×n2          ns ×ns


   Доказательство. В самом деле, рассмотрим какой-либо вектор
(скажем, k-й) из базиса Bj . Образ этого вектора при действии опе-
ратора ϕ (или, что равносильно, — оператора ϕj ) можно разложить
по базису B, а затем в полученной сумме сгрупировать слагаемые по
их принадлежности подпространствам Wi . Сумма первых n1 слагае-
мых является первой проекцией полученного вектора; в этой сумме
скалярные коэффициенты при векторах базиса B1 образуют (n1 ×1)-
столбец, который (по определению матрицы линейного оператора)
будет k-м столбцом (n1 × nj )-матрицы A1j . Аналогично, сумма сле-
дующих n2 слагаемых в разложении вектора-образа определит k-й
столбец (n2 × nj )-матрицы A2j ; и т. д.
   Соединенные в один, все эти столбцы составят k-й столбец матри-
цы, отвечающей оператору ϕj , которая, таким образом, будет иметь
блочный вид (20.21). Далее, k-й столбец Aj входит в матрицу для
оператора ϕ под сквозным номером k 0 = n1 + ... + nj−1 + k [ср. с фор-
мулой (20.9)]. Значит, матрица для ϕ имеет блочный вид (20.22). ¤
   Пример 20.1. Давно замечено, что "формулы с многоточиями"
(заменяющими оборот "и т. д.") вызывают у многих первокурсников
(вспомним английское "freshmen") страх и недоумение. Попробуем
объяснить идею блочной структуры матриц, не употребляя много-
точий (но и без комментариев), на небольшом примере.


      ϕ : V −→ V ; V = V1 ⊕ V2 ⊕ V3 ; n = 6; n1 = 3, n2 = 1, n3 = 2;
         B = [B1 , B2 , B3 ]; B1 = [b1 , b2 , b3 ]; B2 = [b4 ]; B3 = [b5 , b6 ];


ϕ(b1 )=ϕ1 (b1 )=ϕ11 (b1 )+ϕ21 (b1 )+ϕ31 (b1 )=(a11 b1 +a21 b2 +a31 b3 )+a41 b4 +(a51 b5 +a61 b6 );

ϕ(b2 )=ϕ1 (b2 )=ϕ11 (b2 )+ϕ21 (b2 )+ϕ31 (b2 )=(a12 b1 +a22 b2 +a32 b3 )+a42 b4 +(a52 b5 +a62 b6 );

ϕ(b3 )=ϕ1 (b3 )=ϕ11 (b3 )+ϕ21 (b3 )+ϕ31 (b3 )=(a13 b1 +a23 b2 +a33 b3 )+a43 b4 +(a53 b5 +a63 b6 );

Страницы