Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 232 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

232 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Блоки матрицы (20.24) вычисляются по формулам:
C
il
n
i
×n
l
=
s
X
j=1
A
ij
n
i
×n
j
· B
jl
n
j
×n
l
. (20.25)
Доказательство. Представим матрицу A в виде суммы s
2
мат-
риц:
A =
s
X
i,j=1
A
ij
, (20.26)
каждая из которых имеет блочное строение, совпадающее с блочным
строением A, при том, что все блоки, кроме A
ij
, являются нулевыми.
Аналогичным образом представим B:
B =
s
X
k,l=1
B
kl
. (20.27)
Произведение представится в виде суммы s
4
матриц:
C = A · B =
s
X
i,j,k,l=1
A
ij
· B
kl
. (20.28)
Нетрудно заметить, что при j 6= k произведение A
ij
· B
kl
= O.
(Ненулевая зона строк A, проходящих через блок A
ij
, "разминётся"
с ненулевой зоной столбцов B, проходящих через блок B
kl
.) Следо-
вательно, в правой части (20.28) останется s
3
слагаемых, которые
мы сгруппируем следующим образом:
C = A · B =
s
X
i,l=1
s
X
j=1
A
ij
· B
jl
. (20.29)
Заметим далее, что каждое из произведений A
ij
· B
jl
(j = 1, ..., s)
имеет единственный ненулевой (n
i
× n
l
)-блок (на пересечении i-й
зоны по строкам и l -й зоны по столбцам), который мы обозначим
232     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                    Гл. 3

  Блоки матрицы (20.24) вычисляются по формулам:

                                   s
                                   X
                       Cil     =           Aij · Bjl .               (20.25)
                      ni ×nl
                                   j=1 ni ×nj        nj ×nl




  Доказательство. Представим матрицу A в виде суммы s2 мат-
риц:
                            Xs
                       A=      Aij ,                 (20.26)
                                     i,j=1

каждая из которых имеет блочное строение, совпадающее с блочным
строением A, при том, что все блоки, кроме Aij , являются нулевыми.
Аналогичным образом представим B:

                                      s
                                      X
                               B=              Bkl .                 (20.27)
                                     k,l=1


  Произведение представится в виде суммы s4 матриц:

                                           s
                                           X
                    C =A·B =                         Aij · Bkl .     (20.28)
                                      i,j,k,l=1


   Нетрудно заметить, что при j 6= k произведение Aij · Bkl = O.
(Ненулевая зона строк A, проходящих через блок Aij , "разминётся"
с ненулевой зоной столбцов B, проходящих через блок Bkl .) Следо-
вательно, в правой части (20.28) останется s3 слагаемых, которые
мы сгруппируем следующим образом:
                                                              
                                   s
                                   X           s
                                               X
                 C =A·B =                           Aij · Bjl  .   (20.29)
                                   i,l=1       j=1



  Заметим далее, что каждое из произведений Aij · Bjl (j = 1, ..., s)
имеет единственный ненулевой (ni × nl )-блок (на пересечении i-й
зоны по строкам и l-й зоны по столбцам), который мы обозначим

Страницы