Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 20 Линейные эндоморфизмы в прямой сумме 233
C
(j)
il
= A
ij
· B
jl
. (20.30)
В принятых выше обозначениях получится:
A
ij
· B
jl
= C
(j)
il
. (20.31)
Таким образом, для матрицы C мы будем иметь представление,
аналогичное (20.26) и (20.27):
C =
s
X
i,l=1
C
il
, (20.32)
с блоками
C
il
=
s
X
j=1
C
(j)
il
=
s
X
j=1
A
ij
· B
jl
, (20.33)
и предложение доказано. ¤
Замечание 20.1. Правило умножения блочных (квадратных) мат-
риц оказывается идентичным по форме правилу умножения обыч-
ных матриц (со скалярными элементами). Есть однако очень суще-
ственная особенность: в отличие от скалярного случая, в форму-
ле (20.25) нельзя переставлять сомножители A
ij
и B
jk
.
Замечание 20.2. Не составляет большого труда обобщить дока-
занное в предложении 20.2 правило на случай умножения прямо-
угольных блочных матриц. При этом должны быть согласованы не
только размеры перемножаемых матриц, но и их блочные структу-
ры. Допускают "перемножение блоками" (m × n)-матрица A, раз-
битая на st блоков размеров m
i
× n
j
(где i = 1, ... , s; j = 1, ... , t;
m
1
+ ... + m
s
= m; n
1
+ ... + n
t
= n), и (n ×p)-матрица B, разбитая на
tu блоков размеров n
j
× l
k
(j = 1, ... , t; k = 1, ... , u; l
1
+ ... + l
u
= p);
в результате получится (n × p)-матрица C = AB, разбитая на su
блоков размеров m
i
× l
k
.
20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвари-
антности фильтрации. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мер-
ном линейном пространстве V и имеющий нетривиальное (т. е. нену-
левое и отличное от V ) инвариантное подпространство W
1
размер-
ности n
1
(0 < n
1
< n). Выберем произвольное прямое дополнение W
2
§ 20         Линейные эндоморфизмы в прямой сумме                         233


                                 (j)
                               Cil = Aij · Bjl .                       (20.30)
   В принятых выше обозначениях получится:

                                                   (j)
                               Aij · Bjl = Cil .                       (20.31)

  Таким образом, для матрицы C мы будем иметь представление,
аналогичное (20.26) и (20.27):
                                        s
                                        X
                                 C=             Cil ,                  (20.32)
                                        i,l=1


с блоками
                               s
                               X                s
                                                X
                                      (j)
                       Cil =         Cil    =         Aij · Bjl ,      (20.33)
                               j=1              j=1

и предложение доказано. ¤
   Замечание 20.1. Правило умножения блочных (квадратных) мат-
риц оказывается идентичным по форме правилу умножения обыч-
ных матриц (со скалярными элементами). Есть однако очень суще-
ственная особенность: в отличие от скалярного случая, в форму-
ле (20.25) нельзя переставлять сомножители Aij и Bjk .
   Замечание 20.2. Не составляет большого труда обобщить дока-
занное в предложении 20.2 правило на случай умножения прямо-
угольных блочных матриц. При этом должны быть согласованы не
только размеры перемножаемых матриц, но и их блочные структу-
ры. Допускают "перемножение блоками" (m × n)-матрица A, раз-
битая на st блоков размеров mi × nj (где i = 1, ... , s; j = 1, ... , t;
m1 + ... + ms = m; n1 + ... + nt = n), и (n × p)-матрица B, разбитая на
tu блоков размеров nj × lk (j = 1, ... , t; k = 1, ... , u; l1 + ... + lu = p);
в результате получится (n × p)-матрица C = AB, разбитая на su
блоков размеров mi × lk .

  20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвари-
антности фильтрации. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мер-
ном линейном пространстве V и имеющий нетривиальное (т. е. нену-
левое и отличное от V ) инвариантное подпространство W1 размер-
ности n1 (0 < n1 < n). Выберем произвольное прямое дополнение W2

Страницы