Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

234 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
к подпространству W
1
; оно будет иметь размерность n
2
= n − n
1
(и совсем не обязательно будет ϕ-инвариантным). Таким образом,
л.э. окажется действующим в прямой сумме V = W
1
⊕ W
2
.
В рассматриваемом случае набор (20.20) будет состоять из четы-
рех линейных операторов ϕ
11
, ϕ
12
, ϕ
21
, и ϕ
22
, причем третий из них
будет нулевым (ϕ
21
= o). В самом деле ϕ отображает W
1
в себя, а
проекция π
2
отображает W
1
в нуль, следовательно, и композиция
π
2
◦ ϕ ◦ α
1
будет нулевой.
В такой ситуации оператор ϕ
11
: W
1
→ W
1
оказывается не чем
иным, как сужением ϕ на W
1
, если это сужение рассматривать не
как оператор из W
1
во всё V, но как линейный эндоморфизм, дей-
ствующий в W
1
. Мы будем применять запись:
ϕ
0
1
= ϕ
¯
¯
W
1
: W
1
−→ W
1
; ϕ
0
1
(x) = ϕ(x); x ∈ W
1
. (20.34)
Подчеркнем, что л.э. ϕ
22
таким свойством, вообще говоря, не об-
ладает. Если же W
2
, так же как W
1
, окажется ϕ-инвариантным,
то будет справедливо равенство ϕ
12
= o и можно будет считать ϕ
22
сужением ϕ на W
2
: ϕ
22
= ϕ
0
2
.
Выберем теперь приспособленный к прямой сумме V = W
1
⊕ W
2
базис B = [B
1
, B
2
]. В таком базисе эндоморфизму ϕ отвечает блочная
матрица A, четыре блока которой A
ij
(i, j = 1, 2) соответствуют че-
тырем рассмотренным выше линейным операторам ϕ
ij
. В частности,
(n
2
×n
1
)-блок A
21
оказывается нулевым, а (n
1
×n
1
)-блок A
11
явля-
ется матрицей линейного эндоморфизма ϕ
0
1
= ϕ
¯
¯
W
1
∈ L(W
1
), в связи
с чем мы переобозначим этот блок следующим образом: A
11
= A
0
1
.
Окончательно получаем следующую матрицу блочно-треугольно-
го вида:
A
n×n
=
A
0
1
n
1
×n
1
A
12
n
1
×n
2
O
n
2
×n
1
A
22
n
2
×n
2
. (20.35)
В частном случае, когда прямое дополнение W
2
является ϕ-инва-
риантным, матрица (20.35) становится блочно-диагональной:
234     Спектральная теория линейных эндоморфизмов              Гл. 3

к подпространству W1 ; оно будет иметь размерность n2 = n − n1
(и совсем не обязательно будет ϕ-инвариантным). Таким образом,
л.э. окажется действующим в прямой сумме V = W1 ⊕ W2 .
   В рассматриваемом случае набор (20.20) будет состоять из четы-
рех линейных операторов ϕ11 , ϕ12 , ϕ21 , и ϕ22 , причем третий из них
будет нулевым (ϕ21 = o). В самом деле ϕ отображает W1 в себя, а
проекция π2 отображает W1 в нуль, следовательно, и композиция
π2 ◦ ϕ ◦ α1 будет нулевой.
   В такой ситуации оператор ϕ11 : W1 → W1 оказывается не чем
иным, как сужением ϕ на W1 , если это сужение рассматривать не
как оператор из W1 во всё V, но как линейный эндоморфизм, дей-
ствующий в W1 . Мы будем применять запись:

              ¯
       ϕ01 = ϕ¯W : W1 −→ W1 ; ϕ01 (x) = ϕ(x); x ∈ W1 .         (20.34)
                 1




   Подчеркнем, что л.э. ϕ22 таким свойством, вообще говоря, не об-
ладает. Если же W2 , так же как W1 , окажется ϕ-инвариантным,
то будет справедливо равенство ϕ12 = o и можно будет считать ϕ22
сужением ϕ на W2 : ϕ22 = ϕ02 .
   Выберем теперь приспособленный к прямой сумме V = W1 ⊕ W2
базис B = [B1 , B2 ]. В таком базисе эндоморфизму ϕ отвечает блочная
матрица A, четыре блока которой Aij (i, j = 1, 2) соответствуют че-
тырем рассмотренным выше линейным операторам ϕij . В частности,
(n2 × n1 )-блок A21 оказывается нулевым, а (n1 ׯ n1 )-блок A11 явля-
ется матрицей линейного эндоморфизма ϕ1 = ϕ¯W ∈ L(W1 ), в связи
                                            0
                                                   1
с чем мы переобозначим этот блок следующим образом: A11 = A01 .
   Окончательно получаем следующую матрицу блочно-треугольно-
го вида:
                                                  
                                  A01      A12
                           n1 ×n1        n1 ×n2 
                       A =                        .          (20.35)
                      n×n     O            A22
                                 n2 ×n1   n2 ×n2



  В частном случае, когда прямое дополнение W2 является ϕ-инва-
риантным, матрица (20.35) становится блочно-диагональной:

Страницы