Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 236 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

236 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
A
n×n
=
A
0
1
n
1
×n
1
A
12
n
1
×n
2
A
13
n
1
×n
3
. . . A
1s
n
1
×n
s
O
n
2
×n
1
A
22
n
2
×n
2
A
23
n
2
×n
3
. . . A
2s
n
2
×n
s
O
n
3
×n
1
O
n
3
×n
2
A
33
n
3
×n
3
. . . A
2s
n
3
×n
s
. . . . . . . . . . . . . . .
O
n
s
×n
1
O
n
s
×n
2
O
n
s
×n
3
. . . A
ss
n
s
×n
s
, (20.37)
причем блок A
0
1
, занимающий северо-западный угол, отвечает суже-
нию данного эндоморфизма на первое прямое слагаемое.
В предположении ϕ-инвариантности всех прямых слагаемых, ба-
зис можно выбрать так, что матрица данного л.э. примет следующий
блочно-диагональный вид:
A
n×n
=
A
0
1
n
1
×n
1
O
n
1
×n
2
O
n
1
×n
3
. . . O
n
1
×n
s
O
n
2
×n
1
A
0
2
n
2
×n
2
O
n
2
×n
3
. . . O
n
2
×n
s
O
n
3
×n
1
O
n
3
×n
2
A
0
3
n
3
×n
3
. . . O
n
3
×n
s
. . . . . . . . . . . . . . .
O
n
s
×n
1
O
n
s
×n
2
O
n
s
×n
3
. . . A
0
s
n
s
×n
s
, (20.38)
причем каждый из диагональных блоков A
0
i
(i = 1, ..., s) отвечает
сужению ϕ
0
i
= ϕ
¯
¯
W
i
данного эндоморфизма на соответствующее пря-
мое слагаемое.
Доказательство проводится повторным применением предложе-
ния 20.3: сначала рассматривается прямая сумма из двух слагаемых
(W
1
⊕... ⊕W
s−1
) ⊕W
s
, для которой получается блочно-треугольный
вид (20.35); затем от сгруппированной суммы "отщепляется" еще
одно слагаемое и т. д.
Замечание 20.3. Выше, в предложении 20.2, было сформулирова-
но правило перемножения блочных квадратных матриц с одинако-
вым блочным строением, из которого легко усматривается следую-
щий факт: произведение двух блочно-треугольных (блочно-диаго-
нальных) матриц (одинакового блочного строения) снова является
236    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                     Гл. 3


                                                                
                        A01      A12      A13     ...    A1s
                  n1 ×n1       n1 ×n2   n1 ×n3         n1 ×ns 
                                                              
                  O             A22      A23     ...    A2s 
                  n2 ×n1       n2 ×n2   n2 ×n3         n2 ×ns 
                                                              
                                                              
              A = O              O       A33     . . . A2s  ,      (20.37)
             n×n  n3 ×n1       n3 ×n2   n3 ×n3         n3 ×ns 
                                                              
                  ...           ...      ...     ... ... 
                                                              
                                                              
                     O            O        O      . . . Ass
                       ns ×n1   ns ×n2   ns ×n3         ns ×ns

причем блок A01 , занимающий северо-западный угол, отвечает суже-
нию данного эндоморфизма на первое прямое слагаемое.
  В предположении ϕ-инвариантности всех прямых слагаемых, ба-
зис можно выбрать так, что матрица данного л.э. примет следующий
блочно-диагональный вид:
                                                                
                        A01       O        O      ...     O
                  n1 ×n1       n1 ×n2   n1 ×n3         n1 ×ns 
                                                              
                  O             A02       O      ...     O 
                  n2 ×n1                n2 ×n3         n2 ×ns 
                               n2 ×n2                         
                                                              
              A =
                  n3O            O       A03     ...     O 
                                                        n3 ×ns 
                                                                 ,   (20.38)
             n×n
                  ×n1          n3 ×n2   n3 ×n3                
                                                              
                  ...           ...      ...     ... ... 
                                                              
                  O              O        O      . . . As  0 
                       ns ×n1   ns ×n2   ns ×n3         ns ×ns


причем каждый¯ из диагональных блоков A0i (i = 1, ..., s) отвечает
сужению ϕ0i = ϕ¯W данного эндоморфизма на соответствующее пря-
                 i
мое слагаемое.
  Доказательство проводится повторным применением предложе-
ния 20.3: сначала рассматривается прямая сумма из двух слагаемых
(W1 ⊕ ... ⊕ Ws−1 ) ⊕ Ws , для которой получается блочно-треугольный
вид (20.35); затем от сгруппированной суммы "отщепляется" еще
одно слагаемое и т. д.
  Замечание 20.3. Выше, в предложении 20.2, было сформулирова-
но правило перемножения блочных квадратных матриц с одинако-
вым блочным строением, из которого легко усматривается следую-
щий факт: произведение двух блочно-треугольных (блочно-диаго-
нальных) матриц (одинакового блочного строения) снова является

Страницы