Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 237 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 21 Диагонализируемые линейные эндоморфизмы 237
блочно-треугольной (блочно-диагональной) матрицей (с таким же
блочным строением).
Замечание 20.4. Широко употребительным является следующее
обозначение для блочно-диагональных матриц вида (20.38):
A = diag(A
0
1
, A
0
2
, ... , A
0
s
). (20.38
0
)
Блочно-диагональные квадратные матрицы (с одинаковым блоч-
ным строением) можно складывать и перемножать "поблочно". Для
умножения это правило [в обозначениях (20.38
0
)] можно выразить
следующей формулой:
diag(A
0
1
, A
0
2
, ... , A
0
s
) · diag(B
0
1
, B
0
2
, ... , B
0
s
) =
= diag(A
0
1
· B
0
1
, A
0
2
· B
0
2
, ... , A
0
s
· B
0
s
). (20.39)
§
§
§ 21. Диагонализируемые
линейные эндоморфизмы
21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эн-
доморфизмов. Вспомним метафору (см. замечание 17.6): объект
изучения — линейный оператор, матрица — его портрет, спектр —
его душа. Существуют такие линейные операторы (эндоморфизмы),
у которых, что называется, — "душа нараспашку".
Определение 21.1. Линейный эндоморфизм ϕ, действующий
в n-мерном линейном пространстве V , называется диагонализиру-
емым, если в пространстве V существует базис B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
], в
котором этому эндоморфизму отвечает диагональная матрица. Та-
кой базис называется диагонализирующим для л.э. ϕ.
Почему "нараспашку"? Дело в том, что (см. предложение 17.3)
спектр л.э. совпадает со спектром его матрицы (в произвольном ба-
зисе), а для диагональной матрицы
A =
λ
1
λ
2
.
.
.
λ
n
(21.1)
§ 21         Диагонализируемые линейные эндоморфизмы                                   237

блочно-треугольной (блочно-диагональной) матрицей (с таким же
блочным строением).
  Замечание 20.4. Широко употребительным является следующее
обозначение для блочно-диагональных матриц вида (20.38):

                               A = diag(A01 , A02 , ... , A0s ).                   (20.380 )

  Блочно-диагональные квадратные матрицы (с одинаковым блоч-
ным строением) можно складывать и перемножать "поблочно". Для
умножения это правило [в обозначениях (20.380 )] можно выразить
следующей формулой:

  diag(A01 , A02 , ... , A0s ) · diag(B10 , B20 , ... , Bs0 ) =
                                    = diag(A01 · B10 , A02 · B20 , ... , A0s · Bs0 ). (20.39)



                       § 21. Диагонализируемые
                       линейные эндоморфизмы

   21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эн-
доморфизмов. Вспомним метафору (см. замечание 17.6): объект
изучения — линейный оператор, матрица — его портрет, спектр —
его душа. Существуют такие линейные операторы (эндоморфизмы),
у которых, что называется, — "душа нараспашку".
  Определение 21.1. Линейный эндоморфизм ϕ, действующий
в n-мерном линейном пространстве V , называется диагонализиру-
емым, если в пространстве V существует базис B = [ b1 , b2 , ... , bn ], в
котором этому эндоморфизму отвечает диагональная матрица. Та-
кой базис называется диагонализирующим для л.э. ϕ.
  Почему "нараспашку"? Дело в том, что (см. предложение 17.3)
спектр л.э. совпадает со спектром его матрицы (в произвольном ба-
зисе), а для диагональной матрицы
                                                                  
                                         λ1
                                              λ2                  
                              A=
                                                    ..            
                                                                                    (21.1)
                                                          .
                                                              λn

Страницы