Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 239 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 21 Диагонализируемые линейные эндоморфизмы 239
из которого ясно, что натуральные числа m
i
(i = 1, ... , s) представ-
ляют из себя не что иное, как алгебраические кратности соответ-
ствующих собственных значений.
Важно также то, что в данном случае сумма всех алгебраических
кратностей равна размерности пространства V :
m
0
=
s
X
i=1
m
i
= n. (21.6)
В случае диагонализируемого оператора не составляет труда опре-
делить и геометрические кратности n
i
собственных значений λ
i
(i = 1, ... , s). Согласно формуле (18.14), они выражаются через ран-
ги матриц B
i
= A − λ
i
E:
n
i
= n − rank(B
i
). (21.7)
В данном случае, скажем, матрица B
1
имеет вид
B
1
= A−λ
1
E =
O
m
1
(λ
2
− λ
1
)E
m
2
.
.
.
(λ
s
− λ
1
)E
m
s
, (21.8)
с нулевым (m
1
× m
1
)-блоком O
m
1
. Поскольку в остальных блоках
на диагонали стоят ненулевые скаляры, то rank(B
i
) = n − m
1
и,
следовательно, n
1
= n −(n −m
1
) = m
1
.
Аналогичные равенства получаются для остальных i. Таким об-
разом, для любого i = 1, ..., s имеем:
n
i
= m
i
. (21.9)
В силу (21.6), оказывается справедливым следующее равенство
для суммы геометрических кратностей:
n
0
=
s
X
i=1
n
i
= n. (21.10)
21.2. Диагонализируемость на инвариантном подпрост-
ранстве. В некоторых случаях диагонализируемость линейного эн-
доморфизма ϕ может иметь место не на всем пространстве V, а на
некотором ϕ-инвариантном подпространстве W 6 V (ϕ(W ) ⊆ W ).
§ 21     Диагонализируемые линейные эндоморфизмы                            239

из которого ясно, что натуральные числа mi (i = 1, ... , s) представ-
ляют из себя не что иное, как алгебраические кратности соответ-
ствующих собственных значений.
   Важно также то, что в данном случае сумма всех алгебраических
кратностей равна размерности пространства V :
                                 s
                                 X
                            0
                          m =          mi = n.                             (21.6)
                                 i=1

   В случае диагонализируемого оператора не составляет труда опре-
делить и геометрические кратности ni собственных значений λi
(i = 1, ... , s). Согласно формуле (18.14), они выражаются через ран-
ги матриц Bi = A − λi E:

                          ni = n − rank(Bi ).                              (21.7)

   В данном случае, скажем, матрица B1 имеет вид
                 O                                                   
                     m1
                         (λ2 − λ1 )Em2                               
 B1 = A−λ1 E = 
                                            ..                        , (21.8)
                                                                      
                                                  .
                                                      (λs − λ1 )Ems

с нулевым (m1 × m1 )-блоком Om1 . Поскольку в остальных блоках
на диагонали стоят ненулевые скаляры, то rank(Bi ) = n − m1 и,
следовательно, n1 = n − (n − m1 ) = m1 .
   Аналогичные равенства получаются для остальных i. Таким об-
разом, для любого i = 1, ..., s имеем:

                                ni = m i .                                 (21.9)

  В силу (21.6), оказывается справедливым следующее равенство
для суммы геометрических кратностей:
                                 s
                                 X
                            0
                           n =         ni = n.                            (21.10)
                                 i=1


  21.2. Диагонализируемость на инвариантном подпрост-
ранстве. В некоторых случаях диагонализируемость линейного эн-
доморфизма ϕ может иметь место не на всем пространстве V, а на
некотором ϕ-инвариантном подпространстве W 6 V (ϕ(W ) ⊆ W ).

Страницы