Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

238 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
ее спектр "виден": он совпадает с множеством попарно различных
элементов, стоящих на диагонали. В самом деле, характеристиче-
ский многочлен для матрицы (21.1), очевидно, равен
h
A
(λ) = det(λE − A) =
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
λ − λ
1
0 ... 0
0 λ − λ
2
... 0
... ... ... ...
0 0 0 λ − λ
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= (λ − λ
1
)(λ − λ
2
)... (λ − λ
n
). (21.2)
Следовательно, скаляры λ
i
(i = 1, ... , n) являются характеристи-
ческими корнями (= собственными значениями) для ϕ. Кроме того,
базисные векторы b
i
(в соответствии с общим правилом составления
матрицы для линейного оператора) оказываются собственными век-
торами для ϕ:
ϕ(b
i
) = λ
i
b
i
; i = 1, ... , n. (21.3)
Видны также и алгебраические кратности собственных значе-
ний. Действительно, пусть скаляры
λ
1
, λ
2
, ... , λ
s
попарно различны и каждый из них встречается на диагонали мат-
рицы A (соответственно)
m
1
, m
2
, ... , m
s
раз. Перестановкой базисных векторов можно добиться того, что-
бы одинаковые диагональные элементы шли подряд. Тогда матрицу
(21.2) можно будет представить в блочном виде:
A =
λ
1
E
m
1
λ
2
E
m
2
.
.
.
λ
s
E
m
s
, (21.4)
где каждый диагональный блок λ
i
E
m
i
есть скалярная (m
i
× m
i
)-
матрица, а внедиагональные (нулевые) блоки не показываются.
Характеристический многочлен для матрицы (21.4) будет иметь
вид
h
A
(λ) = (λ − λ
1
)
m
1
(λ − λ
2
)
m
2
... (λ − λ
s
)
m
s
, (21.5)
238     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                     Гл. 3

ее спектр "виден": он совпадает с множеством попарно различных
элементов, стоящих на диагонали. В самом деле, характеристиче-
ский многочлен для матрицы (21.1), очевидно, равен

  hA (λ) = det(λE − A) =
                   ¯                                ¯
                   ¯ λ − λ1        0    ...     0 ¯
                   ¯                                ¯
                   ¯ 0          λ − λ2 ...      0 ¯
                 =¯                                 ¯=
                   ¯ ...          ...   ...    ... ¯
                   ¯                                ¯
                       0           0     0 λ − λn
                                  = (λ − λ1 )(λ − λ2 )... (λ − λn ).   (21.2)

  Следовательно, скаляры λi (i = 1, ... , n) являются характеристи-
ческими корнями (= собственными значениями) для ϕ. Кроме того,
базисные векторы bi (в соответствии с общим правилом составления
матрицы для линейного оператора) оказываются собственными век-
торами для ϕ:
                     ϕ(bi ) = λi bi ; i = 1, ... , n.         (21.3)
  Видны также и алгебраические кратности собственных значе-
ний. Действительно, пусть скаляры

                               λ1 , λ2 , ... , λs

попарно различны и каждый из них встречается на диагонали мат-
рицы A (соответственно)

                              m1 , m2 , ... , ms

раз. Перестановкой базисных векторов можно добиться того, что-
бы одинаковые диагональные элементы шли подряд. Тогда матрицу
(21.2) можно будет представить в блочном виде:
                 λ E                                            
                   1 m1
                                 λ2 Em2                         
               A=
                                              ..                ,
                                                                      (21.4)
                                                    .
                                                        λs Ems

где каждый диагональный блок λi Emi есть скалярная (mi × mi )-
матрица, а внедиагональные (нулевые) блоки не показываются.
   Характеристический многочлен для матрицы (21.4) будет иметь
вид
            hA (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ... (λ − λs )ms , (21.5)

Страницы