Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 240 стр.

240     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                   Гл. 3

  Определение 21.10 . Линейный эндоморфизм ϕ ∈ L(V ), назы-
вается диагонализируемым на ϕ-инвариантном линейном подпро-
странстве W 6 V (размерности k), если в подпространстве W су-
ществует базис B 0 = ¯[ b1 , b2 , ... , bk ], относительно которого суженный
эндоморфизм ϕ0 = ϕ¯W ∈ L(W ) имеет диагональную матрицу.
  Просто "диагонализируемый" л.э. — это эндоморфизм, диагона-
лизируемый на всем пространстве. С целью достижения единообра-
зия формулировок, считается, что любой л.э. является диагонализи-
руемым на тривиальном (нулевом) подпространстве.
   Предложение 21.1. Всякий л.э. ϕ диагонализируем на своей
собственной сумме S(ϕ).
   Доказательство. Во-первых собственная сумма (т. е. прямая
сумма W 0 = S(ϕ) всех собственных подпространств) является (см.
предложение 19.2) ϕ-инвариантным подпространством.
   Во-вторых, это подпространство распадается в прямую сумму
(также ϕ-инвариантных) подпространств Wi = Sλi (ϕ) (i = 1, ... , s),
причем для любого i сужение данного л.э. на Wi является (см. пред-
ложение 19.1) скалярным эндоморфизмом
                               ¯
                        ϕ0i = ϕ¯ = λi εi ,
                                    Wi
                                                           (21.11)
где εi = εWi .
   Значит, если выбрать приспособленный к указанной прямой сум-
ме базис в W 0 , то в этом
                         ¯ базисе, в силу предложения 20.4, суженному
эндоморфизму ϕ = ϕ¯W 0 будет отвечать блочно-диагональная (а в
                   0

данном случае фактически — диагональная) матрица
                   λ E                          
                      1   m1
                              λ2 Em2                      
          D  0
                =                       ..                . ¤     (21.12)
         n0 ×n0                              .            
                                                  λs Ems

 21.3. Критерий диагонализируемости линейного эндомор-
физма. В п. 21.1 выявлены некоторые необходимые условия диа-
гонализируемости л.э. В частности, такие эндоморфизмы обязаны
иметь базис из собственных векторов. Другое необходимое усло-
вие: сумма геометрических кратностей всех собственных значений
должна равняться размерности пространства. Ниже мы докажем,
что каждое из этих условий является не только необходимым, но и
достаточным для диагонализируемости эндоморфизма.