Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 242 стр.

242    Спектральная теория линейных эндоморфизмов          Гл. 3

  Предложение 21.2. Линейный эндоморфизм диагонализируем
тогда и только тогда, когда диагонализируема его матрица. ¤

  21.5. Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) с
простым спектром
   Определение 21.2. Говорят, что линейный эндоморфизм ϕ, дей-
ствующий в n-мерном пространстве V , имеет простой спектр, если
он имеет ровно n попарно различных собственных значений.
  Данное определение можно "представить на языке матриц": л.э.
обладает простым спектром тогда и только тогда, когда его матри-
ца (в каком-либо и, следовательно, в любом базисе) имеет ровно n
попарно различных характеристических корней.
  Предложение 21.3. Л.э. с простым спектром является диагона-
лизируемым.
  Доказательство. Пусть л.э. ϕ, который действует в n-мерном
пространстве V, имеет простой спектр:

                     σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λn }.        (21.15)

  Тогда каждая из алгебраических кратностей mi = 1. Но и гео-
метрические кратности должны быть равны единице, поскольку
меньше они быть не могут, а их сумма n0 не должна превышать n.
Выходит, что n0 = n, и, следовательно, в силу теоремы 21.1, эндо-
морфизм ϕ является диагонализируемым. ¤
   Замечание 21.1. В некоторые вопросы линейной алгебры (как
правило, над числовыми полями) может активно "вмешиваться" то-
пология. Например, оказывается, что любая числовая матрица с
любой степенью точности приближается диагонализируемыми мат-
рицами. Поэтому, доказав какую-либо теорему для диагонализиру-
мых матриц, часто можно утверждать, что "по непрерывности" она
остается справедливой для произвольных матриц.
   Если вам симпатично такое содружество и взаимодействие алгеб-
ры, топологии и анализа, то вы найдете для себя много интересного
в оригинальной и очень содержательной книге В. В. Прасолова [20].
  21.6. Примеры недиагонализируемых л.э. Если для линей-
ного эндоморфизма удается найти диагонализирующий базис, то мы