Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 244 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

244 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Поскольку собственное значение только одно, то сумма n
0
всех
геометрических кратностей также сводится к n
0
= 1 < n. По теоре-
ме 21.1, л.э. ϕ не является диагонализируемым.
Замечание 21.2. Весь пафос оставшейся части настоящей главы
состоит в том, что примеров хуже, чем только что рассмотренный, не
существует. Простейшим видом, к которому может быть приведена
матрица произвольного л.э., оказывается блочно-диагональный вид,
с жордановыми ящиками на диагонали. (Правда, такое заключение
справедливо лишь над алгебраически замкнутыми полями.)
Замечание 21.3. Если же поле не является алгебраически замкну-
тым, то спектр л.э. может содержать "слишком мало элементов",
что выражается в наличии строгого неравенства m
0
< m (см. пред-
ложение 17.4). Самым крайним здесь является случай пустоты спек-
тра. (То, что такое возможно, нам известно из примера 16.3.) Если
спектр л.э. пуст, то нельзя даже ставить вопрос о диагонализируе-
мости: диагонализирующий базис должен состоять из собственных
векторов, а их нет ввиду того, что нет собственных значений.
В некоторых случаях такое положение дел может быть исправ-
лено с помощью расширения основного поля P до алгебраического
замыкания P (см. [A
1
, замечание 40.4]).
Пример 21.2 (продолжение примера 16.3). Рассмотрим линей-
ный оператор ϕ = r
α
: R
2
→ R
2
поворота евклидовой плоскости на
угол α 6= πk (k ∈ Z). В естественном базисе E
2
ему отвечает матрица
A =
µ
cos α −sin α
sin α cos α
,
характеристический многочлен для которой имеет, как легко убе-
диться, вид
h
A
(λ) = λ
2
− 2λ cos α + 1
и не имеет действительных корней, поскольку его дискриминант
D = −4 sin
2
α < 0. Значит, σ(ϕ) = ∅, что нами уже получено из
геометрических соображений.
Алгебраическим замыканием поля действительных чисел служит
поле комплексных чисел: C = R. Всякую матрицу с действительны-
ми элементами допустимо рассматривать как матрицу с комплекс-
ными элементами. Поэтому, помимо оператора ϕ, действующего по
244    Спектральная теория линейных эндоморфизмов            Гл. 3

   Поскольку собственное значение только одно, то сумма n0 всех
геометрических кратностей также сводится к n0 = 1 < n. По теоре-
ме 21.1, л.э. ϕ не является диагонализируемым.

   Замечание 21.2. Весь пафос оставшейся части настоящей главы
состоит в том, что примеров хуже, чем только что рассмотренный, не
существует. Простейшим видом, к которому может быть приведена
матрица произвольного л.э., оказывается блочно-диагональный вид,
с жордановыми ящиками на диагонали. (Правда, такое заключение
справедливо лишь над алгебраически замкнутыми полями.)
  Замечание 21.3. Если же поле не является алгебраически замкну-
тым, то спектр л.э. может содержать "слишком мало элементов",
что выражается в наличии строгого неравенства m0 < m (см. пред-
ложение 17.4). Самым крайним здесь является случай пустоты спек-
тра. (То, что такое возможно, нам известно из примера 16.3.) Если
спектр л.э. пуст, то нельзя даже ставить вопрос о диагонализируе-
мости: диагонализирующий базис должен состоять из собственных
векторов, а их нет ввиду того, что нет собственных значений.

  В некоторых случаях такое положение дел может быть исправ-
лено с помощью расширения основного поля P до алгебраического
замыкания P (см. [A1 , замечание 40.4]).
  Пример 21.2 (продолжение примера 16.3). Рассмотрим линей-
ный оператор ϕ = rα : R2 → R2 поворота евклидовой плоскости на
угол α 6= πk (k ∈ Z). В естественном базисе E2 ему отвечает матрица
                           µ                     ¶
                               cos α   − sin α
                      A=                             ,
                               sin α    cos α

характеристический многочлен для которой имеет, как легко убе-
диться, вид
                   hA (λ) = λ2 − 2λ cos α + 1
и не имеет действительных корней, поскольку его дискриминант
D = −4 sin2 α < 0. Значит, σ(ϕ) = ∅, что нами уже получено из
геометрических соображений.
   Алгебраическим замыканием поля действительных чисел служит
поле комплексных чисел: C = R. Всякую матрицу с действительны-
ми элементами допустимо рассматривать как матрицу с комплекс-
ными элементами. Поэтому, помимо оператора ϕ, действующего по

Страницы