Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 245 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 21 Диагонализируемые линейные эндоморфизмы 245
формуле ϕ(x) = A · x на векторы x ∈ R
2
, можно ввести линей-
ный оператор ψ : C
2
→ C
2
, действующий по аналогичной формуле
ψ(z) = A · z на векторы z ∈ C
2
. Матрица A отвечала оператору ϕ
в естественном базисе пространства R
2
; она же будет отвечать ψ
в естественном базисе пространства C
2
(который снова обозначает-
ся E
2
, хотя это — уже другой базис).
Здесь мы впервые сталкиваемся с важным понятием комплекси-
фикации для линейных пространств и линейных отображений над
полем действительных чисел. Несколько подробнее эта идея будет
обсуждаться ниже; см. п. 27.4.
В поле C многочлен h
A
(λ) имеет два различных (сопряженных
друг другу) комплексных корня: λ
1,2
= cos α ± i sin α.
Применение надчеркивания для обозначения векторов-столбцов
запрещает нам здесь применять его для обозначения комплексно-
го сопряжения. Придется "выкручиваться"; во втором случае мы
(временно) будем использовать не черту, а волну (тильду):
λ
1
= cos α + i sin α; λ
2
=
f
λ
1
= cos α − i sin α.
Укажем также на возможность использования показательной фо-
рмы записи комплексных чисел: λ
1
= e
iα
, λ
2
= e
−iα
.
Комплексные числа λ
1,2
будут собственными значениями для ψ.
Выясняется, что этот оператор имеет простой спектр:
σ(ψ) = {e
iα
, e
−iα
}.
По предложению 21.3, он является диагонализируемым, причем в
диагонализирующем базисе ему соответствует матрица:
D =
µ
e
iα
0
0 e
−iα
.
Для практического определения диагонализирующего базиса не-
обходимо найти (базисные) собственные векторы, отвечающие λ
k
(k = 1, 2).
Для λ
1
выписываем и преобразуем следующую матрицу:
B
1
= A − λ
1
E =
µ
−i sin α −sin α
sin α −i sin α
−→
−→
µ
−i −1
1 −i
−→ ( 1 −i ) ,
§ 21     Диагонализируемые линейные эндоморфизмы              245

формуле ϕ(x) = A · x на векторы x ∈ R2 , можно ввести линей-
ный оператор ψ : C2 → C2 , действующий по аналогичной формуле
ψ(z) = A · z на векторы z ∈ C2 . Матрица A отвечала оператору ϕ
в естественном базисе пространства R2 ; она же будет отвечать ψ
в естественном базисе пространства C2 (который снова обозначает-
ся E2 , хотя это — уже другой базис).
   Здесь мы впервые сталкиваемся с важным понятием комплекси-
фикации для линейных пространств и линейных отображений над
полем действительных чисел. Несколько подробнее эта идея будет
обсуждаться ниже; см. п. 27.4.
   В поле C многочлен hA (λ) имеет два различных (сопряженных
друг другу) комплексных корня: λ1,2 = cos α ± i sin α.
   Применение надчеркивания для обозначения векторов-столбцов
запрещает нам здесь применять его для обозначения комплексно-
го сопряжения. Придется "выкручиваться"; во втором случае мы
(временно) будем использовать не черту, а волну (тильду):

                                      f1 = cos α − i sin α.
           λ1 = cos α + i sin α; λ2 = λ
  Укажем также на возможность использования показательной фо-
рмы записи комплексных чисел: λ1 = eiα , λ2 = e−iα .
  Комплексные числа λ1,2 будут собственными значениями для ψ.
Выясняется, что этот оператор имеет простой спектр:

                        σ(ψ) = { eiα , e−iα }.

  По предложению 21.3, он является диагонализируемым, причем в
диагонализирующем базисе ему соответствует матрица:
                           µ iα       ¶
                             e     0
                      D=                .
                              0 e−iα

   Для практического определения диагонализирующего базиса не-
обходимо найти (базисные) собственные векторы, отвечающие λk
(k = 1, 2).
   Для λ1 выписываем и преобразуем следующую матрицу:
                  µ                   ¶
                    −i sin α − sin α
  B1 = A − λ1 E =                       −→
                     sin α   −i sin α
                                    µ        ¶
                                       −i −1
                               −→              −→ ( 1 −i ) ,
                                       1 −i

Страницы