Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 247 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 21 Диагонализируемые линейные эндоморфизмы 247
Выясняется, что над C эндоморфизм имеет простой спектр (он
показан в первом выведенном столбце) и, следовательно, является
диагонализируемым. Диагонализирующий базис представлен вто-
рым элементом вывода — матрицей.
Над R имеется только одно собственное значение, которому отве-
чает одномерное собственное подпространство. Диагонализируемо-
сти, естественно, нет.
Еще раз подчеркнем, что бывают операторы и матрицы, недиаго-
нализируемость которых не устранима никаким расширением основ-
ного поля P (см. жордановы ящики в примере 21.1), а бывают такие,
недиагонализируемость которых проистекает от "несовершенства"
этого поля. В последнем случае положение исправляется переходом
к алгебраическому замыканию P .
21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизма
на диагонализируемость. Описываемый ниже алгоритм являет-
ся по сути продолжением изученного ранее алгоритма 18.1. Даже
нумерацию этапов мы начнем с десятого.
А л г о р и т м 21. 1 (продолжение алгоритма 18.1).
Исследование л.э. ϕ : V → V на диагонализируемость.
Отыскание (частично) диагонализирующего базиса
10. Если n
0
= n, то заключаем, что оператор ϕ является диагона-
лизируемым. Диагонализирующий базис будут составлять столбцы
(n × n)-матрицы
F = (F
1
|F
2
|... | F
s
) . (21.19)
В этом базисе оператору ϕ будет отвечать матрица
D = F
−1
AF =
λ
1
E
n
1
λ
2
E
n
2
.
.
.
λ
s
E
n
s
. (21.20)
(Формулу F D = AF и условие det(F ) 6= 0 можно использовать
для проверки.)
11. Если n
0
< n, то матрица
F
0
n×n
0
= (F
1
|F
2
|... | F
s
) (21.19
0
)
§ 21     Диагонализируемые линейные эндоморфизмы                        247

   Выясняется, что над C эндоморфизм имеет простой спектр (он
показан в первом выведенном столбце) и, следовательно, является
диагонализируемым. Диагонализирующий базис представлен вто-
рым элементом вывода — матрицей.
   Над R имеется только одно собственное значение, которому отве-
чает одномерное собственное подпространство. Диагонализируемо-
сти, естественно, нет.
   Еще раз подчеркнем, что бывают операторы и матрицы, недиаго-
нализируемость которых не устранима никаким расширением основ-
ного поля P (см. жордановы ящики в примере 21.1), а бывают такие,
недиагонализируемость которых проистекает от "несовершенства"
этого поля. В последнем случае положение исправляется переходом
к алгебраическому замыканию P .

   21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизма
на диагонализируемость. Описываемый ниже алгоритм являет-
ся по сути продолжением изученного ранее алгоритма 18.1. Даже
нумерацию этапов мы начнем с десятого.

А л г о р и т м 21. 1 (продолжение алгоритма 18.1).
Исследование л.э. ϕ : V → V на диагонализируемость.
Отыскание (частично) диагонализирующего базиса

   10. Если n0 = n, то заключаем, что оператор ϕ является диагона-
лизируемым. Диагонализирующий базис будут составлять столбцы
(n × n)-матрицы

                       F = (F1 |F2 |... | Fs ) .                     (21.19)
   В этом базисе оператору ϕ будет отвечать матрица
                     λ E                        
                           1   n1
                                   λ2 En2                      
       D=F   −1
                  AF = 
                                             ..                .
                                                                    (21.20)
                                                   .
                                                       λs Ens
  (Формулу F D = AF и условие det(F ) 6= 0 можно использовать
для проверки.)
  11. Если n0 < n, то матрица
                           0
                       F       = (F1 |F2 |... | Fs )                 (21.190 )
                       n×n0

Страницы