Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 248 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

248 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
будет содержать базис в собственной сумме W
0
= S(ϕ). С помо-
щью алгоритма 10.4 продолжим этот базис в W
0
до базиса во всем
пространстве. Будут добавлены n
00
= n −n
0
векторов, составляющие
базис в некотором прямом дополнении W
00
к подпространству W
0
.
Припишем содержащую эти векторы (n ×n
00
)-матрицу K к матрице
(21.19). Квадратная (n × n)-матрица
T = (F
0
|K) (21.21)
содержит частично диагонализирующий базис в V, в котором опера-
тору ϕ будет соответствовать частично диагональная (блочно-треу-
гольная с диагональным северо-западным блоком) матрица
A
0
= T
−1
AT =
λ
1
E
n
1
O . . . O C
0
1
O λ
2
E
n
2
. . . O C
0
2
. . . . . . . . . . . . . . .
O O . . . λ
s
E
n
s
C
0
s
O O . . . O C
00
, (21.22)
последний "блочный стоьбец" которой составлен из (n
i
×n
00
)-блоков
C
0
i
(i = 1, ... , s) и (n
00
× n
00
)-блока C
00
.
Пример 21.4 (продолжение примера 18.1). Дорешаем задачу,
рассмотренную в примере 18.1.
Поскольку n
0
= 3 < 6 = n, матрица
F
0
= (F
1
|F
2
) =
0 0 1
−1 1 0
1 −1 0
0 0 0
1 0 −1
0 1 1
содержит базис только лишь в собственной сумме, не совпадающей
со всем пространством. Чтобы найти базис в каком-либо прямом
дополнении к собственной сумме, составляем матрицу-конкатенацию
(F
0
|E) и приводим ее к ступенчатому виду:
248    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                   Гл. 3

будет содержать базис в собственной сумме W 0 = S(ϕ). С помо-
щью алгоритма 10.4 продолжим этот базис в W 0 до базиса во всем
пространстве. Будут добавлены n00 = n − n0 векторов, составляющие
базис в некотором прямом дополнении W 00 к подпространству W 0 .
Припишем содержащую эти векторы (n × n00 )-матрицу K к матрице
(21.19). Квадратная (n × n)-матрица

                              T = (F 0 |K)                         (21.21)

содержит частично диагонализирующий базис в V, в котором опера-
тору ϕ будет соответствовать частично диагональная (блочно-треу-
гольная с диагональным северо-западным блоком) матрица

                                                              
                        λ1 En1     O     ...      O     C10
                                                           
                  O             λ2 En2 . . .     O     C20 
                                                           
       0   −1                                              
      A = T AT =  . . .          ...    ...      ...   ...  ,    (21.22)
                                                           
                                                           
                  O               O     . . . λs Ens   Cs0 
                          O        O     ...      O     C 00

последний "блочный стоьбец" которой составлен из (ni × n00 )-блоков
Ci0 (i = 1, ... , s) и (n00 × n00 )-блока C 00 .

  Пример 21.4 (продолжение примера 18.1). Дорешаем задачу,
рассмотренную в примере 18.1.
  Поскольку n0 = 3 < 6 = n, матрица

                                                     
                                    0        0     1
                                  −1        1     0 
                                                     
                  0               1         −1    0 
                 F = (F1 |F2 ) =                     
                                  0         0     0 
                                                     
                                    1        0     −1
                                    0        1     1

содержит базис только лишь в собственной сумме, не совпадающей
со всем пространством. Чтобы найти базис в каком-либо прямом
дополнении к собственной сумме, составляем матрицу-конкатенацию
(F 0 |E) и приводим ее к ступенчатому виду:

Страницы