Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

250 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
§
§
§ 22. Свойства характеристического многочлена
22.1. Характеристический многочлен для сужения л.э. на
его инвариантное подпространство. Снова, как и в пункте 20.5,
рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном простран-
стве V и имеющий нетривиальное инвариантное подпространство
W
1
6 V [dim(W
1
) = n
1
]. Возьмем произвольное прямое допол-
нение W
2
к W
1
и выберем базис B = [B
1
, B
2
], приспособленный к
прямой сумме V = W
1
⊕ W
2
. В соответствии с предложением 20.3,
оператору ϕ будет соответствовать в базисе B матрица
A
n×n
=
A
0
1
n
1
×n
1
A
12
n
1
×n
2
O
n
2
×n
1
A
22
n
2
×n
2
. (22.1)
Блок A
0
1
матрицы (22.1) соответствует (в базисе B
1
) суженному
эндоморфизму ϕ
0
1
= ϕ
¯
¯
W
1
. Аналогичный факт, вообще говоря, не
имеет места для блока A
22
, который отвечает л.э. ϕ
22
, действующему
(если W
2
не инвариантно) иначе, нежели ϕ.
Рассмотрим теперь оператор с параметром (17.2), определенный
формулой ψ(λ) = ϕ − λε.
В базисе B ему будет соответствовать матрица B(λ) = A − λE
n
,
которая также зависит от параметра λ ∈ P и может считаться за-
данной над кольцом многочленов P [λ].
Характеристический многочлен для л.э. ϕ может быть вычислен
как определитель матрицы
C(λ) = λE
n
− A =
Ã
λE
n
1
− A
0
1
−A
12
O λE
n
2
− A
22
!
, (22.2)
противоположной B(λ). При этом используется теорема 27.1 из [A
1
]
об определителе блочно-треугольной матрицы, причем в несколько
усиленной форме: применительно к матрицам над коммутативными
кольцами.
(На вопросах, связанных с определителями многочленных мат-
риц, мы уже кратко останавливались в п. 17.1. Большинство изу-
ченных в первом семестре теорем об определителях над полем оста-
ются справедливыми для определителей над любым коммутативным
кольцом. Напомним, что "тонкости с многочленами" становятся су-
щественными лишь в случае конечного поля P коэффициентов.)
250     Спектральная теория линейных эндоморфизмов              Гл. 3

 § 22. Свойства характеристического многочлена

   22.1. Характеристический многочлен для сужения л.э. на
его инвариантное подпространство. Снова, как и в пункте 20.5,
рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном простран-
стве V и имеющий нетривиальное инвариантное подпространство
W1 6 V [dim(W1 ) = n1 ]. Возьмем произвольное прямое допол-
нение W2 к W1 и выберем базис B = [B1 , B2 ], приспособленный к
прямой сумме V = W1 ⊕ W2 . В соответствии с предложением 20.3,
оператору ϕ будет соответствовать в базисе B матрица
                            0             
                              A1     A12
                            n1 ×n1 n1 ×n2 
                      A =                 .              (22.1)
                     n×n       O     A22
                               n2 ×n1   n2 ×n2


   Блок A01 матрицы (22.1)
                       ¯     соответствует (в базисе B1 ) суженному
эндоморфизму ϕ1 = ϕ¯W . Аналогичный факт, вообще говоря, не
                 0
                         1
имеет места для блока A22 , который отвечает л.э. ϕ22 , действующему
(если W2 не инвариантно) иначе, нежели ϕ.
   Рассмотрим теперь оператор с параметром (17.2), определенный
формулой ψ(λ) = ϕ − λε.
   В базисе B ему будет соответствовать матрица B(λ) = A − λEn ,
которая также зависит от параметра λ ∈ P и может считаться за-
данной над кольцом многочленов P [λ].
   Характеристический многочлен для л.э. ϕ может быть вычислен
как определитель матрицы
                            Ã                       !
                              λEn1 − A01    −A12
        C(λ) = λEn − A =                                ,       (22.2)
                                 O       λEn2 − A22

противоположной B(λ). При этом используется теорема 27.1 из [A1 ]
об определителе блочно-треугольной матрицы, причем в несколько
усиленной форме: применительно к матрицам над коммутативными
кольцами.
   (На вопросах, связанных с определителями многочленных мат-
риц, мы уже кратко останавливались в п. 17.1. Большинство изу-
ченных в первом семестре теорем об определителях над полем оста-
ются справедливыми для определителей над любым коммутативным
кольцом. Напомним, что "тонкости с многочленами" становятся су-
щественными лишь в случае конечного поля P коэффициентов.)

Страницы