Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 252 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

252 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Каждому собственному значению λ
i
сопоставляются два нату-
ральных числа: алгебраическая кратность
m
i
= max{k ∈ N : (λ − λ
i
)
k
|h
ϕ
(λ)} (22.7)
и геометрическая кратность
n
i
= dim(S
λ
i
(ϕ)). (22.8)
Сейчас мы докажем важный факт, информация о котором уже
давалась в замечании 18.2.
Предложение 22.2. Геометрическая кратность любого собст-
венного значения не превышает его алгебраической кратности:
n
i
6 m
i
; i = 1, ... , s. (22.9)
Доказательство. Рассмотрим собственное подпространство
W
i
= S
λ
i
(ϕ). (22.10)
Согласно предложению 19.1, оно является ϕ-инвариантным и су-
жение на него эндоморфизма ϕ является скалярным эндоморфизмом
[см. (19.5)]:
ϕ
0
i
= λ
i
ε
i
; ε
i
= ε
W
i
. (22.11)
Характеристический многочлен для л.э. (22.11) выражается фор-
мулой [см. (17.11)]:
h
ϕ
0
i
(λ) = (λ − λ
i
)
n
i
. (22.12)
В силу предложения 22.1, он обязан делить характеристический
многочлен для ϕ:
(λ − λ
i
)
n
i
|h
ϕ
(λ). (22.13)
Неравенство (22.9) вытекает теперь из определения (22.7) алгеб-
раической кратности. ¤
252    Спектральная теория линейных эндоморфизмов          Гл. 3

  Каждому собственному значению λi сопоставляются два нату-
ральных числа: алгебраическая кратность

               mi = max{k ∈ N : (λ − λi )k | hϕ (λ)}       (22.7)

и геометрическая кратность

                        ni = dim(Sλi (ϕ)).                 (22.8)

  Сейчас мы докажем важный факт, информация о котором уже
давалась в замечании 18.2.

  Предложение 22.2. Геометрическая кратность любого собст-
венного значения не превышает его алгебраической кратности:

                       ni 6 mi ; i = 1, ... , s.           (22.9)



  Доказательство. Рассмотрим собственное подпространство

                           Wi = Sλi (ϕ).                  (22.10)

   Согласно предложению 19.1, оно является ϕ-инвариантным и су-
жение на него эндоморфизма ϕ является скалярным эндоморфизмом
[см. (19.5)]:
                      ϕ0i = λi εi ; εi = εWi .          (22.11)

  Характеристический многочлен для л.э. (22.11) выражается фор-
мулой [см. (17.11)]:
                     hϕ0i (λ) = (λ − λi )ni .            (22.12)

  В силу предложения 22.1, он обязан делить характеристический
многочлен для ϕ:
                      (λ − λi )ni | hϕ (λ).             (22.13)

  Неравенство (22.9) вытекает теперь из определения (22.7) алгеб-
раической кратности. ¤

Страницы